Question

14．如圖所示，等腰直角三角形ACD的直角邊長(zhǎng)為2a，P為AC邊的中點(diǎn)，Q為CD邊上的一點(diǎn)，DQ=a．在△ACD區(qū)域內(nèi)，既有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，又有電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一帶正電的粒子自P點(diǎn)沿平行于AD的直線通過△ACD區(qū)域．不計(jì)粒子的重力．
（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的方向和粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)的速度大小v₀；
（2）若僅撤去電場(chǎng)，粒子仍以原速度自P點(diǎn)射入磁場(chǎng)，從Q點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求粒子的比荷；
（3）若僅撤去磁場(chǎng)，粒子仍以原速度自P點(diǎn)射入電場(chǎng)，求粒子在△ACD區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正電的粒子在電磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)可以，粒子受力平衡，根據(jù)電場(chǎng)力等于洛倫茲力求出初速度；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（3）粒子沿初速度v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）正粒子在場(chǎng)區(qū)受力平衡：qE=qv₀B…①
解得：${v_0}=\frac{E}{B}$
根據(jù)正粒子所受電場(chǎng)力的方向與場(chǎng)強(qiáng)的方向相同，可知場(chǎng)強(qiáng)的方向由A指向C．  
（2）過Q點(diǎn)作半徑OQ，它與CA的延長(zhǎng)線交于圓心O，作QH⊥CA，垂足為H，設(shè)正粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則：$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{R}$…②
在直角三角形HOQ中：HO²+HQ²=R²…③
$HQ=2a-acos4{5}^{°}=（2-\frac{\sqrt{2}}{2}）a$…④
HO=OC-HC=（R+a）-HQ…⑤
聯(lián)立③④⑤解得：R=3a…⑥
聯(lián)立①②⑥解得：$\frac{q}{m}=\frac{E}{{3a{B^2}}}$…⑦
（3）粒子沿初速度v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)：x=v₀t…⑧
粒子沿電場(chǎng)方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)：$y=\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t^2}$…⑨
由幾何關(guān)系：x+y=a⑩
由①⑦⑧⑨⑩得：${（\frac{E}{B}）^2}{t^2}+6a（\frac{E}{B}）t-6{a^2}=0$
解得：$t=\frac{{（\sqrt{15}-3）aB}}{E}$
答：（1）求電場(chǎng)強(qiáng)度的方向和粒子進(jìn)入場(chǎng)區(qū)的速度大小為$\frac{E}{B}$；
（2）粒子的比荷為$\frac{E}{3a{B}^{2}}$；
（3）粒子在△ACD區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{（\sqrt{15}-3）aB}{E}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，知道若粒子在混合場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，則粒子受力平衡，能結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度適中．