Question

1．中國(guó)探月工程預(yù)計(jì)在2015年研制和發(fā)射小型采樣返回艙，采集關(guān)鍵樣品后返回地球，如圖為從月面返回時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖，軌道①為月球表面附近的環(huán)月軌道，軌道②為月地轉(zhuǎn)移橢圓軌道，已知月球的平均密度為ρ，半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球表面的重力加速度為g=$\frac{4πG{R}^{2}ρ}{3}$
• B． 返回艙進(jìn)入環(huán)月軌道①所需的最小發(fā)射速度為v=$\frac{2R}{3}$$\sqrt{3πρG}$
• C． 返回艙繞環(huán)月軌道①的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)=$\frac{3π}{Gρ}$
• D． 返回艙在軌道②上的周期大于在軌道①上的運(yùn)行周期

Answer 1

分析 A、根據(jù)月球表面重力等于萬(wàn)有引力列式求解；
B、根據(jù)重力提供向心力列式求解；
C、根據(jù)T=$\frac{2πR}{v}$列式求解周期；
D、根據(jù)開(kāi)普勒周期定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=C列式判斷．

解答 解：A、在月球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故：
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
其中：
M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
解得：
g=$\frac{4πG{R}^{\;}ρ}{3}$
故A錯(cuò)誤；
B、返回艙繞月圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
故返回艙進(jìn)入環(huán)月軌道①所需的最小發(fā)射速度為：
v=$\sqrt{gR}$=$\frac{2R}{3}\sqrt{3πρG}$
故B正確；
C、返回艙繞環(huán)月軌道①的運(yùn)動(dòng)周期為：
T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πR}{\frac{2R}{3}\sqrt{3πρG}}$=$\sqrt{\frac{3π}{ρG}}$
故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)開(kāi)普勒周期定律$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=C，返回艙在軌道②上的周期大于在軌道①上的運(yùn)行周期，故D正確；
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確返回艙做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律、萬(wàn)有引力定律、開(kāi)普勒第三定律列式分析．