Question

6．我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，用十年左右時間完成．據(jù)悉，我國探月工程設(shè)想為三期，簡稱為“繞、落、回”三步走，在2020年前后完成．目前已進行了第二步．
嫦娥三號探測器于2013年12月2日在中國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，它的任務(wù)是在月球上著陸，并對月球進行科學(xué)探測．衛(wèi)星發(fā)射后，先繞地球轉(zhuǎn)3圈，軌道是橢圓軌道，近地點是200km．之后經(jīng)調(diào)速進入月地轉(zhuǎn)移軌道，接近月球時經(jīng)過三次制動，使其被月球俘獲，成為月球衛(wèi)星，發(fā)動機正常關(guān)機，“嫦娥三號”進入距月表面約200公里圓軌道．北京時間2013年12月9日，在北京航天飛行控制中心的控制下，“嫦娥三號”衛(wèi)星主發(fā)動機點火成功制動，經(jīng)過減速階段，最終成功降落在月球表面，釋放月球探測車，開始了對月球的探測工作．
設(shè)月球半徑為R，嫦娥三號繞月球的軌道半徑為r，運動周期為T，引力常數(shù)為G，且把它繞月球的運動近似看做是勻速圓周運動．試根據(jù)以上已知量，求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）在某次成功在月球表面上著陸后，一位宇航員拿出一小球，并以一定的初速度V₀豎直向上拋出，請問經(jīng)多長時間小球落回月球表面處？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力列式求出月球質(zhì)量
（2）根據(jù)重力等于萬有引力求出月球表面的重力加速度，再運用豎直上拋運動的規(guī)律求時間

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，則：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得月球質(zhì)量為：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面的萬有引力近似等于重力，可以求得月球表面的重力加速度．
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
月球表面的重力加速度為：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$
在月球上以${v}_{0}^{\;}$上拋的小球到最高點的時間為${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{g}$
所求的時間為：$t=2{t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
$t=\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$
答：（1）月球的質(zhì)量$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）經(jīng)過時間$\frac{{v}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}$小球落回月球表面處

點評 本題關(guān)鍵是要抓住衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進行列式求解，星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運用豎直上拋運動的知識求出時間．