Question

4．如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在I、II、III、IV四個場區(qū)，y軸右側(cè)存在勻強(qiáng)磁場I，y軸左側(cè)與虛線MN之間存在方向相反的兩個勻強(qiáng)電場，II區(qū)電場方向豎直向下，III區(qū)電場方向豎直向上，P點(diǎn)是MN與x軸的交點(diǎn)．有一質(zhì)量為m，帶電荷量+q的帶電粒子由原點(diǎn)O，以速度v₀沿x軸正方向水平射入磁場I，已知勻強(qiáng)磁場I的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里，大小為2B₀，勻強(qiáng)電場II和勻強(qiáng)電場III的電場強(qiáng)度大小均為E=$\frac{{{B_0}{v_0}}}{2}$，如圖所示，IV區(qū)的磁場垂直紙面向外，大小為B₀，OP之間的距離為$\frac{{4m{v_0}}}{{q{B_0}}}$，已知粒子最后能回到O點(diǎn)．
（1）帶電粒子從O點(diǎn)飛出后，第一次回到x軸時的位置和時間；
（2）根據(jù)題給條件畫出粒子運(yùn)動的軌跡；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)飛出后到再次回到O點(diǎn)的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)半徑公式求出粒子在磁場Ⅰ中運(yùn)動的半徑，從而得出粒子在磁場Ⅰ中運(yùn)動半周回到y(tǒng)軸的距離；帶電粒子在Ⅱ場區(qū)內(nèi)作類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛二第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出類平拋運(yùn)動的時間以及水平位移．
（2）粒子在磁場Ⅰ中運(yùn)動半周進(jìn)入電場Ⅱ，做類平拋運(yùn)動，然后進(jìn)入電場Ⅲ，做曲線運(yùn)動，恰好垂直邊界進(jìn)入磁場Ⅳ，做半個圓周運(yùn)動，又進(jìn)入電場Ⅱ做類平拋運(yùn)動，再進(jìn)入電場Ⅲ做曲線運(yùn)動，垂直邊界進(jìn)入磁場Ⅰ，做半個圓周回到O點(diǎn)．
（3）根據(jù)粒子在磁場中的運(yùn)動時間和在電場中運(yùn)動的時間，求出總時間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場I中運(yùn)動的半徑為：${R_1}=\frac{{mv_0^{\;}}}{{2q{B_0}}}$
帶電粒子在I磁場中運(yùn)動了半個圓，回到y(tǒng)軸的坐標(biāo)為：$y=2{R_1}=\frac{{mv_0^{\;}}}{{q{B_0}}}$
帶電粒子在II場區(qū)作類平拋運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律得帶電粒子運(yùn)動的加速度為：$a=\frac{qE}{m}=\frac{{{q_{\;}}{B_0}{v_0}}}{2m}$，
豎直方向y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，水平位移x=v₀t，
聯(lián)立得$t=\frac{2m}{{q{B_0}}}$，${t_總}=\frac{2m}{{q{B_0}}}+\frac{πm}{{2q{B_0}}}$，第一次回到x軸的位置（-$\frac{2mv_0^2}{{q{B_0}}}$，0）
（2）根據(jù)運(yùn)動的對稱性畫出粒子在場區(qū)III的運(yùn)動軌跡如圖所示．
帶電粒子在場區(qū)IV運(yùn)動的半徑是場區(qū)I運(yùn)動半徑的2倍，
畫出粒子的運(yùn)動軌跡，同樣根據(jù)運(yùn)動的對稱性畫出粒子回到O點(diǎn)的運(yùn)動軌跡如圖所示．
（3）帶電粒子在I磁場中運(yùn)動的時間正好為1個周期，故有：${t_1}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$
帶電粒子在II、III兩個電場中運(yùn)動的時間為：${t_2}=4t=\frac{8m}{{q{B_0}}}$
帶電粒子在IV場中運(yùn)動的時間為半個周期為：${t_3}=\frac{πm}{{q{B_0}}}$
因此帶電粒子從O點(diǎn)飛出后到再次回到O點(diǎn)的時間為：${t_總}={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{（2π+8）m}{{q{B_0}}}$
答：（1）帶電粒子從O點(diǎn)飛出后，第一次回到x軸時的位置（-$\frac{2mv_0^2}{{q{B_0}}}$，0），時間$\frac{2m}{{q{B_0}}}+\frac{πm}{{2q{B_0}}}$；
（2）粒子運(yùn)動的軌跡如上圖所示；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)飛出后到再次回到O點(diǎn)的時間$\frac{（2π+8）m}{{q{B_0}}}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在磁場和電場中的運(yùn)動，掌握處理類平拋運(yùn)動的方法，對于圓周運(yùn)動，關(guān)鍵會確定半徑和圓心以及圓心角．本題涉及的過程較多，要正確地畫出軌跡圖是關(guān)鍵．