Question

8．在一個豎直面內(nèi)固定一個半徑為R的光滑半圓環(huán)，AB為直徑，小球從A處沿圓環(huán)內(nèi)側(cè)切線方向射入并在環(huán)內(nèi)運動，如圖所示，若小球剛好落在圓心O點，求在A點入射時的初速度v₀多大？（已知R=$\sqrt{3}$m，g=10m/s²）

Answer 1

分析 小球若是能到達(dá)圓心O點，說明小球不能沿圓弧運動到達(dá)圓弧的最高點，則小球在圓弧的上升階段離開圓弧，然后向上做斜上拋運動，先判斷出小球離開軌道的位置，然后將之后的運動沿水平方向與豎直方向分解，并結(jié)合機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：由題意可知小球在圓環(huán)內(nèi)先做圓周運動，再做斜上拋運動后落到O點．設(shè)小球在C點與軌道分離，設(shè)OC與OA夾角為θ．
有機(jī)械能守恒的：$mgRsinθ=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$ …①
在C點有重力的分力提供向心力：$mgsinθ=\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$  …②
兩式聯(lián)立解的：${{v}_{c}}^{2}=Rgsinθ$，${v}_{0}^{2}=3Rgsinθ$   …③
小球從C點到O點有運動學(xué)公式的：Rcosθ=v_csinθ•t    …④
$Rsinθ=-{v}_{c}cosθ•t+\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
聯(lián)立以上三式解的：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$        ⑥
代入③式得：${v}_{0}=\sqrt{\sqrt{3}Rg}=\sqrt{\sqrt{3}×\sqrt{3}×10}=\sqrt{30}$m/s
答：在A點入射時的初速度v₀是$\sqrt{30}$m/s．

點評 該題結(jié)合機(jī)械能守恒定律考查豎直平面內(nèi)的圓周運動以及斜上拋運動，屬于高中物理競賽的題目，在解答的過程中要注意小球離開軌道時的受力特點是重力的分力恰好提供向心力，這是解答的關(guān)鍵．