Question

11．如圖所示，邊長(zhǎng)L=2m的正方形abcd區(qū)域（含邊界）內(nèi)，存在著垂直于區(qū)域表面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度日=0.5t帶電平行金屬板MN、PQ間形成了勻強(qiáng)電場(chǎng)E（不考慮金屬板在其它區(qū)域形成的電場(chǎng)）．MN放在ad邊上，兩板左端肘、P恰在ab邊上，兩板右端N、Q間有一絕緣擋板EF，EF申間有一小孔O，金屬板長(zhǎng)度、板間距、擋板長(zhǎng)度均為導(dǎo)．在M和P的中間位置有一離子源s，能夠正對(duì)孔O不斷發(fā)射出各種速率的帶負(fù)電離子，離子的電荷量均為q=1.6×10^-16C，質(zhì)量均為m=3.2×10²⁵kg．（不計(jì)離子的重力，不考慮離子之間的相互作用，離子打到金屬板或擋板上后將不反彈）
（1）當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度E₀=2×10⁵N/C時(shí)，求能夠袷SO連線穿過孔O的離子的速率v；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度取值在一定范圍內(nèi)時(shí)，可使沿so連線穿過O并進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的離子直接從bc邊射出，求滿足條件的電場(chǎng)強(qiáng)度最大值E₁及在此種情況下，離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）在電場(chǎng)強(qiáng)度取第（2）問中滿足條件的最小值的情況下，緊貼磁場(chǎng)邊緣cd的內(nèi)側(cè)，從c點(diǎn)沿cd方向入射一電荷量分也為q、質(zhì)量也為m，的帶正電離子，要保證磁場(chǎng)中能夠發(fā)生正、負(fù)離子的相向正碰（碰撞時(shí)兩離子的速度方向恰好相反），求該正離子入射的速率v．

Answer 1

分析 （1）由平衡條件可以求出離子速度．
（2）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由平衡條件、牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）根據(jù)幾何知識(shí)求出離子軌道半徑，由牛頓第二定律求出離子速率．

解答 解：（1）能穿過速度選擇器的離子洛倫茲力與電場(chǎng)力相等，
即：qv₀B=qE，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=4×10⁵m/s；
（2）穿過O孔的離子滿足：qvB=qE，
離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}r}{m}$，
從bc邊射出的離子其臨界軌跡如圖中①②所示：

對(duì)于與軌跡①，半徑最大，對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)強(qiáng)度值最大，
根據(jù)圖示軌跡①，由幾何知識(shí)可得：r₁=$\frac{L}{2}$=1m，
解得：E_1max=1.25×10⁶N/C；
由幾何知識(shí)可知，sinθ=$\frac{L-\frac{L}{4}-{r}_{1}}{{r}_{1}}$，sinθ=$\frac{1}{2}$，
則：θ=30°，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的勻速時(shí)間：t=$\frac{90°+30°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$T=$\frac{8π}{3}$×10^-7s；
（3）當(dāng)E取最小值時(shí)，離子軌跡如上圖②所示，
根據(jù)圖示由幾何知識(shí)可得：r₂=$\frac{L-\frac{L}{4}}{2}$，
解得：r₂=0.075m，
離子發(fā)生正碰，兩離子軌跡將內(nèi)切，如圖所示：

設(shè)從C進(jìn)入磁場(chǎng)的離子軌道半徑為r′，速率為v′，
由幾何知識(shí)得：（r′-r₂）²=r₂²+（r′-$\frac{L}{2}$）²，
將L、r₂代入解得：r′=0.2m，
由牛頓第二定律得：qv′B=q$\frac{v{′}^{2}}{r′}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v′=5×10⁵m/s；
答：（l）當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度E₀=2×10⁵N/C時(shí)，能夠沿SO連線穿過孔O的離子的速率為4×10⁵m/s；
（2）滿足條件的電場(chǎng)強(qiáng)度最大值為1.25×10⁶N/C，離子在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{8π}{3}$×10^-7s；
（3）該正離子入射的速率為5×10⁵m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求離子的速率、電場(chǎng)強(qiáng)度，分析清楚離子運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律即可正確解題，分析清楚離子運(yùn)動(dòng)過程、作出其運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題題的前提與關(guān)鍵．