Question

14．△OAC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0）、A（L，0）、C（0，$\sqrt{3}$L），在△OAC區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場．在t=0時(shí)刻，同時(shí)從三角形的OA邊各處沿y軸正方向以相同的速度將質(zhì)量均為m、電荷量均為q的帶正電粒子射入磁場，已知在t=t₀時(shí)刻從OC邊射出磁場的粒子的速度方向垂直于y軸，不計(jì)粒子重力和空氣阻力及粒子間的相互作用．
（1）求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）若從OA邊兩個(gè)不同位置射入磁場的粒子，先后從OC邊上的同一點(diǎn)P（P點(diǎn)圖中未標(biāo)出）射出磁場，求這兩個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁與t₂之間應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）從OC邊上的同一點(diǎn)P射出磁場的這兩個(gè)粒子經(jīng)過P點(diǎn)的時(shí)間間隔與P點(diǎn)位置有關(guān)，若該時(shí)間間隔最大值為$\frac{4{t}_{0}}{3}$，求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子垂直O(jiān)A進(jìn)入磁場中，轉(zhuǎn)過90°，垂直打在y軸上，則t=t₀=$\frac{1}{4}$T，求出周期，由周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，設(shè)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有θ₁=180°-θ₂，可得到時(shí)間之和等于$\frac{T}{2}$．
（3）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)知道，兩粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，只要求出△θ的最大值，即可求得θ₂的最大值．由△t=$\frac{△θ}{360°}$T和已知條件△t_max=$\frac{4{t}_{0}}{3}$，聯(lián)立可求出θ₂的最大值，再結(jié)合幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律，利用洛倫茲力等于向心力，列式求解粒子的速度．

解答 解：（1）據(jù)題分析知，粒子在t₀時(shí)間內(nèi)，速度方向改變了90°，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則t=t₀=$\frac{1}{4}$T，故粒子運(yùn)動(dòng)的周期 T=4t₀
由T=$\frac{2πm}{qB}$…①
得 B=$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$…②
（2）在同一點(diǎn)射出磁場的兩粒子軌跡如圖，軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角分別為θ₁和θ₂，由幾何關(guān)系有：
θ₁=180°-θ₂…③
故t₁+t₂=$\frac{T}{2}$=2t₀…④
（3）由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可知，兩粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差△t與△θ=θ₂-θ₁成正比，由②得：
△θ=θ₂-θ₁=2θ₂-180°…⑤
根據(jù)⑤式可知θ₂越大，△θ₂越大，時(shí)間差△t越大
由△t=$\frac{△θ}{360°}$T…⑥
由題時(shí)間間隔最大值為△t_max=$\frac{4{t}_{0}}{3}$…⑦
又T=4t₀ …⑧
則⑤⑥⑦⑧得，θ₂的最大值為θ_max=150°…⑨
在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子軌跡如圖，由幾何關(guān)系α=180°-θ=30°…⑩
由幾何知識(shí)得 tan∠A=$\frac{\sqrt{3}L}{L}$=$\sqrt{3}$，得∠A=60°…（11）
 β=90°-∠A=30°…（12）
且有 Rcosα+$\frac{R}{cosα}$=L   
解得：R=$\frac{2\sqrt{3}L}{7}$
根據(jù)qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\frac{\sqrt{3}πL}{7{t}_{0}}$
答：
（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{πm}{2q{t}_{0}}$．
（2）這兩個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁與t₂之間應(yīng)滿足的關(guān)系是t₁+t₂=2t₀．
（3）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{3}πL}{7{t}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)類型，要能作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，善于運(yùn)用幾何知識(shí)幫助分析和求解，這是軌跡問題的解題關(guān)鍵．