Question

10．質(zhì)量為m的圓環(huán)A套在質(zhì)量也為m的勻質(zhì)桿B的上端，如右圖所示，桿B呈豎直狀態(tài)，下端離地高度為H時靜止起釋放，并且開始計時．設(shè)桿B與圓環(huán)A相對滑動時的摩擦力為kmg（k＞1），且桿B在下落撞擊地面豎直向上反彈的過程中無能量損失．試求：
（1）若桿足夠長，桿第一次落地反彈后到與圓環(huán)再次相對靜止所用的時間；
（2）若桿足夠長，桿下端第二次落地所用時間；
（3）若桿下端第二次落地時圓環(huán)A還在桿上，桿的最小長度．

Answer 1

分析 （1）環(huán)與桿做自由落體運動，由自由落體運動的速度位移公式可以求出落地速度和落地的時間；
根據(jù)牛頓第二定律求出木棒彈起豎直上升過程中木棒和環(huán)的加速度，由運動學(xué)的公式即可求出桿第一次落地反彈后到與圓環(huán)再次相對靜止所用的時間；
（2）環(huán)在木棒上升及下落的全過程中一直處于加速運動狀態(tài)，所以木棒從向上彈起到再次著地的過程中，棒與環(huán)的加速度均保持不變，應(yīng)用勻變速直線運動的速度公式求出運動時間．總時間為三段運動時間的和
（3）勻變速直線運動的運動學(xué)公式求出這段時間內(nèi)環(huán)運動的位移即可棒的最小長度．

解答 解：（1）桿做自由落體運動，由速度位移公式得，落地速度：v₀=$\sqrt{2gH}$；
桿彈起豎直上升過程中，根據(jù)牛頓第二定律，
對桿：f+mg=ma₁，解得：a₁=$\frac{mg+f}{m}$=$\frac{mg+kmg}{m}$=（k+1）g，方向：豎直向下，
對環(huán)：mg-f=ma₂，解得：a₂=$\frac{f-mg}{m}$=$\frac{kmg-mg}{m}$=（k-1）g，方向豎直向上，
選取向下為正方向，當(dāng)它們的速度相等時：
-v₀+a₁t₁=v₀-a₂t₁
聯(lián)立得：t₁=$\frac{\sqrt{2gH}}{kg}$
（2）此時桿下端離地高為H_B=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²，
共同速度為v_AB=v₀-a₂t₁=$\frac{\sqrt{2gH}}{k}$，
此后，由于環(huán)與桿之間的滑動摩擦力要大于環(huán)的重力，所以環(huán)與桿將保持靜止，一起向下運動，則：
H_B=v_ABt₂+$\frac{1}{2}$gt₂²，
聯(lián)立得：t₂=（$\sqrt{\frac{1}{k}}+\frac{1}{k}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
環(huán)與桿開始時做自由落體運動的時間：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$
總時間：t=t₁+t₂+t₃
聯(lián)立得：t=（1+$\sqrt{\frac{1}{k}}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
（3）桿的最小長度就是環(huán)相對桿滑動的最大距離：
L=${H}_{B}+（{v}_{0}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}）$
聯(lián)立得：L=$\frac{2H}{k}$
答：（1）若桿足夠長，桿第一次落地反彈后到與圓環(huán)再次相對靜止所用的時間是$\frac{\sqrt{2gH}}{kg}$；
（2）若桿足夠長，桿下端第二次落地所用時間是（1+$\sqrt{\frac{1}{k}}$）$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
（3）若桿下端第二次落地時圓環(huán)A還在桿上，桿的最小長度是$\frac{2H}{k}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運動學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析棒和環(huán)的運動情況，知道棒和環(huán)的運動時間相等，再抓住位移關(guān)系求解，難度適中．