Question

12．如圖，地面上有一個(gè)豎直的光滑軌道，由一段斜的直軌道和與之相切的圓形軌道平滑連接而成，圓形軌道的半徑為R，A、B分別為其最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，物塊初始位置離地面的高度為h．一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，軌道的總質(zhì)量是7mg．（g為重力加速度）
（1）若h=3R，小物塊滑過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（2）要求物塊既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不使軌道離開(kāi)地面（F_N≠0），求物塊初始位置離地面的高度h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若h=3R，先根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小物塊滑到B點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式結(jié)合解答．
（2）物塊要能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，速度最小時(shí)由重力提供向心力，由牛頓第二定律得到最小速度．當(dāng)軌道剛要離地時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力等�?mg，再由牛頓第二定律求得最高點(diǎn)的最大速度，再由機(jī)械能守恒定律求h的范圍．

解答 解：（1）若h=3R，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=7mg
由牛頓第三定律得知，小物塊滑過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小N′=N=7mg，方向豎直向下．
（2）設(shè)小物塊剛好到圓形軌道最高點(diǎn)的速度為v₁．在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為7mg時(shí)速度為v₂．在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
7mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg（h₁-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
mg（h₂-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得：h₁=$\frac{5}{2}$R，h₂=6R
故要求物塊既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不使軌道離開(kāi)地面，h的范圍為$\frac{5}{2}$R≤h≤6R．
答：（1）若h=3R，小物塊滑過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是7mg．
（2）要求物塊既能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)，又不使軌道離開(kāi)地面，h的范圍為$\frac{5}{2}$R≤h≤6R．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，把握最高點(diǎn)臨界條件，知道物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，在最高點(diǎn)的最小速度必須滿(mǎn)足有mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$．