Question

13．假設(shè)是半徑為R的質(zhì)量均勻分布的球體，地球繞太陽可看成做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r．不考慮空氣的影響，萬有引力常量為G．
（1）若測(cè)得地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T，求太陽的質(zhì)量；
（2）用彈簧秤稱一個(gè)小物體的重：在地球北極地面測(cè)量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F₀；在北極上空高出地面h處測(cè)量時(shí)，彈簧秤讀數(shù)為F₁；求比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）研究行星繞太陽運(yùn)動(dòng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質(zhì)量；
（2）根據(jù)重力等于引力，列出兩組方程，從而即可求解．

解答 解：（1）設(shè)太陽和地球的質(zhì)量分別為M、m，地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）設(shè)小物體質(zhì)量為m′，在北極地面稱量時(shí)，有：
$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}=m′g={F}_{0}$
在北極上空高為h處，稱量時(shí)，有：$\frac{Gmm′}{（R+h）^{2}}=m′g′={F}_{1}$；
解得：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
答：（1）太陽的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用，同時(shí)理解彈簧秤的讀數(shù)，即為引力的大�。�