Question

17．如圖1所示，在xOy坐標系中，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，緊靠極板的右邊緣的有界勻強磁場區(qū)域由△ABO和矩形OBCD構成，其中∠OAB=60°，OD=OA．磁場方向垂直于平面xOy向里，D、A位于y軸上．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質量為m、電荷量為+q、速度相同的帶電粒子，在0-3t₀時間內兩板間加上如圖2所示的電壓；已知t=0時刻進入兩極板間的粒子在t₀時刻射入磁場，恰好不會從磁場邊界射出磁場區(qū)域且圓心在x軸上．l、m、q、t₀為已知量，U₀=$\frac{{m{l^2}}}{qt_0^2}$，不考慮P、Q兩板電壓的變化對磁場的影響，也不考慮粒子的重力及粒子間的相互影響．求：

（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度大小和方向；
（2）勻強磁場的磁感應強度的大小及磁場區(qū)域的面積；（結果用根號表示）
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知粒子在兩平行板間做類平拋運動，由平拋運動性質可分別求出粒子水平方向和豎直方向的速度，最后對這兩個速度進行合成，由于速度為矢量需注意方向問題；
（2）需畫出粒子運動軌跡，根據幾何知識求出粒子運動半徑，再求出磁感應強度的大�。�由幾何知識可求出AB邊長，最后求出磁場區(qū)域面積；
（3）先判斷粒子在磁場中運動軌跡，根據圓周運動公式求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）t=0時刻進入電場的粒子在t₀時刻射出電場，在電場中類平拋；
水平方向：${t_0}=\frac{l}{v_0}$
豎直方向：$y=\frac{1}{2}\frac{{{U_0}q}}{lm}t_0^2=\frac{l}{2}$
在電場中運動，動能定理：$q\frac{U_0}{l}y=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得速度大小：$v=\sqrt{2}{v_0}=\frac{{\sqrt{2}l}}{t_0}$
速度方向：與水平方向成45°
（2）臨界軌跡如圖所示，設粒子在磁場中圓周運動的半徑r₁；
由幾何關系：${r_1}=\frac{l}{{2cos{{45}^0}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}l$
粒子在磁場中運動：$qvB=m\frac{v^2}{r_1}$
解得$B=\frac{mv}{{q{r_1}}}=\frac{2m}{{q{t_0}}}$
設AB長為a，有幾何關系：$\overline{OB}=\frac{r_1}{{sin{{30}^0}}}+\frac{l}{2}tan{45^0}=asin{60^0}$
解得$a=\frac{{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{3}l$
磁場區(qū)域的面積：$S=\frac{1}{4}{a^2}sin{60^0}+\frac{1}{2}{a^2}sin{60^0}=\frac{{9\sqrt{3}+4\sqrt{6}}}{8}{l^2}$
（3）t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在兩板間做勻速直線運動，在2t₀時刻沿x方向進入磁場，設進入磁場后勻速圓周運動的半徑r₂，則$q{v_0}B=m\frac{v_0^2}{r_2}$
解得${r_2}=\frac{{m{v_0}}}{qB}=\frac{l}{2}$
由$\frac{a}{2}＞l=2{r_2}$知，粒子將從OD邊射出磁場                    
粒子在磁場中運動的周期$T=\frac{{2π{r_2}}}{v_0}=π{t_0}$
粒子在磁場中運動的時間$t=\frac{T}{2}=\frac{{π{t_0}}}{2}$
答：（1）t=0時刻進入兩板間的帶電粒子射入磁場時的速度大小為$\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，方向與水平方向成45°；
（2）勻強磁場的磁感應強度的大小及磁場區(qū)域的面積$\frac{9\sqrt{3}+4\sqrt{6}}{8}{l}^{2}$；
（3）t=t₀時刻進入兩板間的帶電粒子在勻強磁場中運動的時間為$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

點評 本題屬于帶電粒子在組合場中的運動，主要考查考生綜合分析問題能力，求解的關鍵是找到粒子的運動軌跡剛好和AB邊相切，找到幾何關系求出AB邊的長度．本題為壓軸題，對學生能力要求很高．