Question

2．如圖所示，一電荷量為+q，質(zhì)量為m的帶電體在A點(diǎn)，AB為動摩擦因數(shù)為μ的粗糙平面，優(yōu)弧BD是半徑為R的$\frac{3}{4}$光滑圓道，系統(tǒng)中存在水平向右的勻強(qiáng)電場且Eq=$\frac{3}{4}$mg，重力加速度為g．
（1）物體可以到達(dá)C點(diǎn)時，AB的長度L₁；
（2）物體可以到達(dá)D點(diǎn)時，AB的長度L₂；
（3）在（2）的整個過程中，物體可以達(dá)到的V_max．

Answer 1

分析 （1）物體恰好通過C點(diǎn)時，由重力提供向心力，由向心力公式求出C點(diǎn)的臨界速度，再由動能定理求L₁．
（2）要使物體可以到達(dá)D點(diǎn)時，物體必須能通過速度與電場力和重力的合力相垂直的點(diǎn)P，在P點(diǎn)處，由電場力和重力的合力提供向心力，求該點(diǎn)的速度，再由動能定理求解．
（3）當(dāng)物體通過P點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)時速度最大，由動能定理求解．

解答 解：（1）設(shè)物體剛好能到達(dá)C點(diǎn)時，物體在C點(diǎn)的速度大小是v₁；
則在C點(diǎn)有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
從A到C，由動能定理得：
   qEL₁-μmgL₁-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立解得 L₁=$\frac{10R}{3-4μ}$
（2）設(shè)物體在CD間的P點(diǎn)時速度方向與電場力和重力的合力垂直，設(shè)P點(diǎn)和圓心的連線與豎直方向的夾角為α．
則有 tanα=$\frac{qE}{mg}$=$\frac{3}{4}$，α=37°
在P點(diǎn)有 $\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
從A到P點(diǎn)，由動能定理得：
  qE（L₂-Rsinα）-μmgL₂-mgR（1+cosα）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得 L₂=$\frac{4.8+\sqrt{2}}{2-2μ}$R
（3）當(dāng)物體運(yùn)動到P點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)Q時速度最大．
從Q到P，由動能定理得：
-2mgRcosα-2qERsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
解得 v_Q=$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$
故v_max=v_Q=$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$
答：
（1）物體可以到達(dá)C點(diǎn)時，AB的長度L₁是$\frac{10R}{3-4μ}$．
（2）物體可以到達(dá)D點(diǎn)時，AB的長度L₂是$\frac{37R}{30-40μ}$．
（3）在（2）的整個過程中，物體可以達(dá)到的v_max是$\frac{5}{2}\sqrt{gR}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電場中的運(yùn)動，要注意明確解決粒子的運(yùn)動關(guān)鍵在于明確動能定理和功能關(guān)系的正確應(yīng)用；只要不涉及時間問題，優(yōu)先考慮功能關(guān)系進(jìn)行分析．