Question

1．如圖所示，一條長為L的絕緣細線上端固定在O點，下端系一質(zhì)量為m的小球，將它放置一個范圍足夠大的勻強電場中，該電廠場的場強強大小為E，方向水平向右．已知小球的勻強電場中靜止時，細線與豎直方向的夾角為α（α＜45°）．求：
（1）當細線與豎直方向的夾角β多大時，才能使小球在由靜止釋放后細線到達豎直位置時，小球的速度恰好為零？
（2）當細線與豎直方向成α角時，至少要給小球多大的初速度，才能使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動？

Answer 1

分析 （1）小球在電場中受到重力、電場力和細線的拉力而處于平衡狀態(tài)．根據(jù)細線偏離的方向，分析電場力方向，確定小球的電性．
小球由較高位置釋放直至最低位置，重力做正功，電場力做負功，應用動能定理可解角度關系．
（2）若要使小球能夠完成圓周運動，則細繩應始終處于伸直狀態(tài)，當在初位置（與豎直方向成α角時）所給沖量最小時，小球運動過程速度最小時刻，重力與電場力的合力恰好充當小球運動的向心力，可求其速度值，對應從初始位置到此位置過程應用動能定理，可求初始速度

解答 解：（1）根據(jù)平衡條件可知，小球受電場力方向與場強方向相同，則小球帶正電，由平衡條件得
Eq=mgtanα     ①
則，q=$\frac{mgtanα}{E}$    ②
將小球由靜止釋放過程中，重力做正功，電場力做負功，動能的變化量為零，根據(jù)動能定理得
mgL（1-cosφ）-EqLsinφ=0 ③
聯(lián)立②③式得
φ=2α ④
（2）（2）在細線與豎直方向成α角時，重力與電場力的合力為
F=$\frac{mg}{cosα}$⑤
在小球圓周運動的等效最高點D，如圖：
重力與電場力的合力提供向心力，設此時速度為v₁，由牛頓運動定律得，
F=$\frac{{mv}_{1}^{2}}{L}$⑥
設初速度為v₀，從初始位置到速度最小位置的過程應用動能定理，
-2mgLcosα-2Eqlsinα=$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得${v}_{0}=\sqrt{\frac{5gL}{cosα}}$
答：（1）當細線與豎直方向的夾角β為2α時，才能使小球在由靜止釋放后細線到達豎直位置時，小球的速度恰好為零
（2）當細線與豎直方向成α角時，至少要給小球$\sqrt{\frac{5gL}{cosα}}$的初速度，才能使小球在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動

點評 本題是復合場、平衡條件牛頓運動定律與動能定理動量定理的綜合應用題，涉及過程復雜，模型較多，要分解后逐個過程進行分析求解