Question

3．如圖所示，A是地球同步衛(wèi)星，B是近地衛(wèi)星，它們的軌道半徑之比為6：1
（1）求衛(wèi)星A、B線速度大小之比；
（2）地球自轉(zhuǎn)的周期為T，同步衛(wèi)星A的軌道半徑為r，引力常量為G，則地球的質(zhì)量M為多少？

Answer 1

分析 （1）AB繞地球做圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，由此可知軌道半徑越大，速度越小，據(jù)此判斷線速度大�。�
（2）由萬有引力定律和牛頓第二定律即可求出地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）對衛(wèi)星由萬有引力定律和牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$                                   
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
即：v∝$\sqrt{\frac{1}{r}}$
則衛(wèi)星A與衛(wèi)星B線速度大小之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1}{6}}$
（2）對同步衛(wèi)星A，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：$G\frac{M{m}_{A}}{{r}^{2}}={m}_{A}\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
答：（1）衛(wèi)星A、B線速度大小之比為$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）地球自轉(zhuǎn)的周期為T，同步衛(wèi)星A的軌道半徑為r，引力常量為G，則地球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評 考查萬有引力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動的應(yīng)用，注意分清同步，則有相同角速度，而在地球上的物體運(yùn)動與地球外的物體運(yùn)動向心力不同是解題的關(guān)鍵．