Question

20．如圖所示，光滑半圓形軌道處于豎直平面內，半圓軌道與光滑的水平地面相切于半圓的端點A．一質量為m的小球在水平地面上的C點受水平向左的恒力F由靜止開始運動，當運動到A點時撤去恒力F，小球沿豎直半圓軌道運動到軌道最高點B點，最后又落在水平地面上的D點（圖中未畫出）．已知A、C間的距離為L，重力加速度為g．
（1）若軌道半徑為R，求小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力F_N；
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，求軌道半徑的最大值R_m．

Answer 1

分析 （1）先由動能定理求出小球到達B點時的速度大小，再由牛頓第二定律求出軌道對小球的彈力，即可由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．
（2）當小球對軌道的壓力恰好為零時，由上題彈力的表達式，求出軌道半徑的最大值R_m．

解答 解：（1）設小球到達B點時速度為v_B，根據動能定理有：
FL-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
設B點時軌道對小球的壓力為 F′_N，對小球在B點時進行受力分析如圖，則根據牛頓第二定律得：
F′_N+mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg
根據牛頓第三定律可知小球對軌道的壓力 F_N=F′_N=$\frac{2FL}{R}$-5mg，方向豎直向上
（2）小球能夠到達最高點的條件是 F′_N≥0，即$\frac{2FL}{R}$-5mg≥0，
得：R≤$\frac{2FL}{5mg}$      
故軌道半徑的最大值為：R_m=$\frac{2FL}{5mg}$    
答：（1）若軌道半徑為R，小球到達圓軌道B點時對軌道的壓力F_N是$\frac{2FL}{R}$-5mg．
（2）為使小球能運動到軌道最高點B，軌道半徑的最大值R_m是$\frac{2FL}{5mg}$．

點評 本題綜合運用了動能定理、牛頓第二定律，綜合性較強，關鍵理清過程，選擇適當?shù)亩ɡ砘蚨�律進行解題．