Question

12．美國(guó)航天局計(jì)劃2030的把宇航員送上火星，若宇航員到達(dá)火星以后，在火星表面上以初速度v₀豎直向上拋出一小球，測(cè)得經(jīng)過時(shí)間t小球落回火星表面，速度大小仍為v₀，若將火星視為密度均勻，半徑為R的球體，引力常量為G，則火星的密度為（　　）

• A． $\frac{3{v}_{0}}{2GπRt}$
• B． $\frac{2{v}_{0}}{3GπRt}$
• C． $\frac{3{v}_{0}}{4GπRt}$
• D． $\frac{4{v}_{0}}{3GπRt}$

Answer 1

分析 小球在月球表面做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由速度時(shí)間公式求出月球表面的重力加速度；
忽略球體自轉(zhuǎn)的影響，萬有引力和重力相等求解中心天體的質(zhì)量，再根據(jù)ρ=MV求解天體密度．

解答 解：小球豎直上拋后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，取豎直向上為正方向，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：
-v₀-v₀=gt；
解得：g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
設(shè)某星球的質(zhì)量為M，忽略星體和地球的自轉(zhuǎn)，表面的物體受到的萬有引力等于重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
該星球的密度為：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3v}_{0}}{2GπRt}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，該理論運(yùn)用比較廣泛，所以將GM=gR²稱為“黃金代換式”．