Question

11．如圖所示，在一半徑為R，半圓形區(qū)域內(nèi)（O為圓心，PQ邊為直徑）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中沒(méi)畫出），PQ上方是電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始勻強(qiáng)電場(chǎng)中的A點(diǎn)釋放，從O點(diǎn)垂直于AB進(jìn)入磁場(chǎng)，已知OA的距離也為R，不計(jì)重力與空氣阻力的影響．
（1）求粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）若要進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子不從圓弧邊界離開磁場(chǎng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B′=$\frac{4\sqrt{2mqER}}{qR}$，求帶電粒子從靜止開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓弧邊界的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí)，圓周半徑最大，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值；
（3）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B′時(shí)，求出粒子在磁場(chǎng)中的半徑，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，分別求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的時(shí)間，即可求出帶電粒子從靜止開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓弧邊界的時(shí)間

解答 解：（1）依題意，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：$qER=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
得$v=\sqrt{\frac{2qER}{m}}$②
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應(yīng)與半圓磁場(chǎng)邊界相切，設(shè)軌跡圓周半徑為r

由圖中幾何關(guān)系：$r=\frac{R}{2}$③
由洛倫茲力提供向心力：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$④
聯(lián)立②③④解得$B=\frac{2\sqrt{2mqER}}{qR}$
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r′，$r′=\frac{mv}{qB′}=\frac{R}{4}$，粒子的圓周軌跡如下圖所示：

在電場(chǎng)中從A到O勻加速$R=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$，得${t}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2R}{a}}$
帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}^{\;}=3\sqrt{\frac{2R}{a}}=3\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=T=\frac{2πm}{qB′}=\frac{π}{4}\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
帶電粒子從靜止開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓弧邊界的時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=（3+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
答：（1）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度$\sqrt{\frac{2qER}{m}}$；
（2）若要進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子不從圓弧邊界離開磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值$\frac{2\sqrt{2mqER}}{qR}$；
（3）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B′=$\frac{4\sqrt{2mqER}}{qR}$，帶電粒子從靜止開始運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓弧邊界的時(shí)間$（3+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，會(huì)確定圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑、圓心角，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解．