Question

19．如圖所示，兩條平行的金屬導(dǎo)軌相距L=1m，金屬導(dǎo)軌的傾斜部分與水平方向的夾角為37°，整個(gè)裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中．金屬棒MN和PQ的質(zhì)量均為m=0.2kg，電阻分別為R_MN=1Ω和R_PQ=2Ω．MN置于水平導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，PQ置于光滑的傾斜導(dǎo)軌上，兩根金屬棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．從t=0時(shí)刻起，MN棒在水平外力F₁的作用下由靜止開始以a=1m/s²的加速度向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，PQ則在平行于斜面方向的力F₂作用下保持靜止?fàn)顟B(tài)．t=3s時(shí)，PQ棒消耗的電功率為8W，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，水平導(dǎo)軌足夠長，MN始終在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)．求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）0～3s時(shí)間內(nèi)通過MN棒的電荷量；
（3）若改變F₁的作用規(guī)律，使MN棒的運(yùn)動(dòng)速度v與位移x滿足關(guān)系：v=0.4x，PQ棒仍然靜止在傾斜軌道上．求MN棒從靜止開始到x=5m的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）MN向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，相當(dāng)于電源，PQ相當(dāng)于外電路．要求PQ消耗的功率，要先MN產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，由歐姆定律求出電路中電流，即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）先由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求出t=3.0s時(shí)間內(nèi)棒MN通過的位移，從而確定出穿過回路MNQP磁通量的變化量△φ，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流的定義式推導(dǎo)出電量表達(dá)式q=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$，即可求解通過PQ的電量．
（3）由題v=0.4s，速度v與位移s成正比，可知電流I、安培力也與位移s成正比，可安培力的平均值求解安培力做的功，再功能關(guān)系即可求出系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）當(dāng)t=3 s時(shí)，設(shè)MN的速度為v₁，則
v₁=at=3 m/s
E₁=BLv₁
E₁=I（R_MN+R_PQ）
P=I²R_PQ
代入數(shù)據(jù)得：B=2 T．
（2）t=0～3.0s時(shí)間內(nèi)金屬棒MN運(yùn)動(dòng)的位移為：
s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{3}^{2}$m=4.5m                                            
t=0～3.0s時(shí)間內(nèi)穿過回路MNQP磁通量的變化量：
△φ=B₁Ls=2×1×4.5Wb=9 Wb                                     
t=0～3.0s時(shí)間內(nèi)通過PQ棒的電荷量為：
q=$\overline{I}$•t=$\frac{\overline{E}}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•t=$\frac{△φ}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$=$\frac{9}{1+2}$C=3C 
（3）MN棒做變加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)x=5 m時(shí)，v=0.4x=0.4×5 m/s=2 m/s
因?yàn)樗俣葀與位移x成正比，所以電流I、安培力也與位移x成正比
安培力做功W_安=-$\frac{1}{2}$BL•$\frac{BLv}{{R}_{MN}+{R}_{PQ}}$•x
代入數(shù)據(jù)得：W_安=-6.67 J
所以：Q=-W_安=6.67 J．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是2T；
（2）0～3s時(shí)間內(nèi)通過MN棒的電荷量是3C；
（3）MN棒從靜止開始到x=5m的過程中，系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳量是6.67J．

點(diǎn)評 本題是雙桿類型，分別研究它們的情況是基礎(chǔ)，運(yùn)用力學(xué)和電路、電磁感應(yīng)的規(guī)律研究MN棒，其中對于感應(yīng)電荷量，要熟悉一般表達(dá)式q=$n\frac{△φ}{R+r}$，知道△φ與棒的位移有關(guān)．對于功，動(dòng)能定理是常用的求解方法，本題關(guān)鍵要抓住安培力與位移是線性關(guān)系，安培力的平均值等于初末時(shí)刻的平均值．