Question

1．我國(guó)航天人為實(shí)現(xiàn)中華民族多年的奔月夢(mèng)想，正在向著“繞、落、回”的第三步進(jìn)軍，未來(lái)將有中國(guó)的航天員登上月球．假如航天員在月球上測(cè)得擺長(zhǎng)為l的單擺做n次小振幅全振動(dòng)的時(shí)間為t．已知月球可視為半徑為r的質(zhì)量分布均勻的球體，引力常量為G，在月球表面h高處（h的大小與月球半徑r相比可以忽略不計(jì)）以水平初速度v₀拋出一小球，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）求小球落到月球表面時(shí)的速度大��；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小應(yīng)滿足什么條件；
②小球繞月球運(yùn)動(dòng)一周的最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由單擺周期公式求出重力加速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球落到月球表面的速度；
（2）①小球的最小發(fā)射速度即第一宇宙速度，根據(jù)重力提供向心力即可求解；
②根據(jù)公式$T=\frac{2πR}{{v}_{1}^{\;}}$求解最小周期；

解答 解：（1）單擺周期公式為：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$
$\frac{t}{n}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{l}{g}}$
重力加速度為：$g=\frac{{4{π^2}{n^2}l}}{t^2}$
$v_y^2=2gh$
豎直分速度為：$v_y^{\;}=\sqrt{2gh}=\frac{2πn}{t}\sqrt{2lh}$；
水平分速度為：$v_x^{\;}=v_0^{\;}$
所以小球落地速度大小為：$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+\frac{{8{π^2}{n^2}}}{t^2}lh}$
（2）①根據(jù)重力提供向心力，有：$mg=\frac{mv_1^2}{R}$
得：${v_1}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
要使小球不再落回表面：${v_0}≥\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}$
②小球繞月球運(yùn)動(dòng)一周的最短時(shí)間：$t=\frac{2πR}{v_1}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{2πR}{{\sqrt{\frac{{4{π^2}{n^2}lR}}{t^2}}}}=\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$．
答：（1）求小球落到月球表面時(shí)的速度大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{2}}lh}$；
（2）若恰好能使小球不再落回月球表面
①v₀的大小應(yīng)滿足條件${v}_{0}^{\;}≥\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{n}_{\;}^{2}lR}{{t}_{\;}^{2}}}$；
②小球繞月球運(yùn)動(dòng)一周的最短時(shí)間$\frac{t}{n}\sqrt{\frac{R}{l}}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是建立模型，理清思路．