Question

12．如圖所示，PQ右側(cè)平面區(qū)域分布N個(gè)足夠大條形磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，相鄰磁場(chǎng)區(qū)域的距離為S．左測(cè)存在一個(gè)加速電場(chǎng)，A板為加速電場(chǎng)正極板，B板為負(fù)極板，極板間電壓為U，質(zhì)量m、帶正電量為q 的粒子從A板靜止釋放加速后垂直射入磁場(chǎng)（重力不計(jì)）．
（1）試求粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）粒子恰好經(jīng)過右邊第二個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界后返回，最終垂直PQ邊界離開磁場(chǎng)，試求從粒子進(jìn)入磁場(chǎng)返回邊界PQ所用的時(shí)間；
（3）若要求粒子經(jīng)過右邊第N個(gè)磁場(chǎng)后再返回通過邊界PQ，試求加速電場(chǎng)的電壓應(yīng)該調(diào)節(jié)到多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，結(jié)合半徑公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看成一個(gè)完整的半圓軌跡，根據(jù)周期公式求出在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出在磁場(chǎng)間隙間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出總時(shí)間．
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道半徑，結(jié)合加速電壓與軌道半徑的關(guān)系求出加速電壓調(diào)節(jié)的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速到磁場(chǎng)中，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
粒子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，f=qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
軌道半徑r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（2）可以將兩個(gè)磁場(chǎng)的軌跡看成一個(gè)完整的半圓軌跡，r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{1}=\frac{T}{2}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，則${t}_{1}=\frac{πm}{qB}$．
條形磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾萪=$\frac{r}{2}=\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
則粒子經(jīng)過第一個(gè)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)角sinθ=$\fraca0rndhn{r}=\frac{π}{6}$，在磁場(chǎng)間隙運(yùn)動(dòng)軌跡是直線2m
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{2}=\frac{2s}{vcos\frac{π}{6}}=\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$，
t=t₁+t₂=$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
（3）${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{1}}{q}}$，${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{2}}{q}}$，
解得${U}_{1}=\frac{{N}^{2}}{4}U$，${U}_{2}=\frac{（N-1）^{2}}{4}U$，
則調(diào)節(jié)后的電壓U_x滿足$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）從粒子進(jìn)入磁場(chǎng)返回邊界PQ所用的時(shí)間為$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（3）加速電場(chǎng)的電壓應(yīng)該調(diào)節(jié)到$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式、周期公式進(jìn)行求解．