Question

17．如圖所示是一個水位高度控制裝置的示意圖，當水位到達高H時，水恰好頂起塞子A從出水孔流出，水位下降后，塞子A又把出水孔堵住，塞子A底部是半徑為r的半球，半球恰好塞入出水孔中．已知球的體積公式是V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$，球表面面積公式是S_球=4πr²，圓面積公式是S_圓=πr²，水的密度為ρ，為滿足水位高度自動控制的要求，塞子的質量應為多少？

Answer 1

分析 浸沒在液體中的固體受到的浮力等于固體各表面所受液體壓力的合力；我們可以先設想半球體下表面有液體，求出此時下表面受到的液體壓力和半球體受到的浮力，從而求出此時液體對半球體上表面的壓力

解答 解：假設半球下表面處全部為液體，
則半球受到的浮力F_浮方向豎直向上，由阿基米德原理可知，
F_浮=ρgV_排=ρgV_半球=ρg×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{2}{3}$ρgπr³；
由p=$\frac{F}{S}$可知，半球下表面受到的液體壓力：
F_下=p_下S_圓=p_液S_圓=ρgH×πr²，方向豎直向上，
半球受到的浮力F_浮等于半球下表面與上表面所受液體對它的壓力合力，
即：F_浮=F_向上-F_向下，F_向上=F_向下+F_浮=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$ρgπr³，
半球恰好塞入出水口中，所以塞子的重力G=F_上=πr²ρgH+$\frac{2}{3}$gπr³，
塞子的質量應為m=$\frac{G}{g}$=$\frac{π{r}_{\;}^{2}ρgH+\frac{2}{3}ρgπ{r}_{\;}^{3}}{g}$=πr²ρH+$\frac{2}{3}$ρπr³=ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．
答：塞子的質量應為ρπr²（H+$\frac{2}{3}$r）．

點評 本題考查了物體的浮沉條件及其應用，解答本題的關鍵是知道阿基米德定律，計算浮力的常用計算方法：稱重法、壓力差法、阿基米德原理法．