Question

14．如甲圖所示，光滑導(dǎo)體軌道PMN和P'M'N'是兩個(gè)完全一樣軌道，是由半徑為r的四分之一圓弧軌道和水平軌道組成，圓弧軌道與水平軌道在M和M'點(diǎn)相切，兩軌道并列平行放置，MN和M'N'位于同一水平面上，兩軌道之間的距離為L，PP'之間有一個(gè)阻值為R的電阻，開關(guān)K是一個(gè)感應(yīng)開關(guān)（開始時(shí)開關(guān)是斷開的），MNN'M'是一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)有豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，水平軌道MN離水平地面的高度為h，其截面圖如乙所示．金屬棒a和b質(zhì)量均為m、電阻均為R．在水平軌道某位置放上金屬棒b，靜止不動(dòng)，a棒從圓弧頂端靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑，若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，當(dāng)兩棒的速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒距離$x=\frac{{m\sqrt{2gr}R}}{{2{B^2}{L^2}}}$，兩棒速度穩(wěn)定之后，再經(jīng)過一段時(shí)間，b棒離開軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，在b棒離開軌道瞬間，開關(guān)K閉合．不計(jì)一切摩擦和導(dǎo)軌電阻，已知重力加速度為g．求：
（1）兩棒速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒的速度分別是多少？
（2）兩棒落到地面后的距離是多少？
（3）整個(gè)過程中，兩棒產(chǎn)生的焦耳熱分別是多少？

Answer 1

分析 （1）a棒沿光滑圓軌道下滑時(shí)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出a棒運(yùn)動(dòng)到圓軌道最低點(diǎn)M時(shí)的速度．兩棒速度穩(wěn)定時(shí)速度相同．對于a、b兩棒組成的系統(tǒng)，由于合外力為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律，即可求解最終的速度；
（2）經(jīng)過一段時(shí)間后b棒離開軌道做平拋運(yùn)動(dòng)．a(chǎn)棒與電阻R組成閉合電路，對a棒，運(yùn)用動(dòng)量定理求出a棒離開軌道時(shí)的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求兩棒落到地面后的距離．
（3）由通量守恒定律，即可求解整個(gè)過程中兩棒產(chǎn)生的焦耳熱．．

解答 解：（1）a棒沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)M時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得：
mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得a棒到達(dá)M點(diǎn)時(shí)的速度為：v₀=$\sqrt{2gr}$
a棒進(jìn)入磁場向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路面積減小，磁通量減小，產(chǎn)生感應(yīng)電流，a棒受到向左的安培力而做減速運(yùn)動(dòng)，b棒在向右的安培力作用力向右做加速運(yùn)動(dòng)，只要a棒的速度大于b棒的速度，回路總有感應(yīng)電流，a棒繼續(xù)減速，b棒繼續(xù)加速，直到兩棒速度相同后，回路面積不變，磁通量不變，不產(chǎn)生感應(yīng)電流，兩棒以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)．
從a棒進(jìn)入水平軌道開始到兩棒達(dá)到相同速度的過程中，兩棒在水平方向受到的安培力總是大小相等、方向相反，系統(tǒng)的合外力為零，所以兩棒的總動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=2mv₁．
解得兩棒最終勻速運(yùn)動(dòng)的速度為：v₁=$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$
（2）經(jīng)過一段時(shí)間后，b棒離開軌道做平拋運(yùn)動(dòng)．a(chǎn)棒與電阻R組成閉合電路，從b棒離開軌道到a棒離開軌道的過程中，a棒受到的安培力的沖量為：
I_A=B$\overline{I}$Lt=BL$\frac{△Φ}{2Rt}$t=$\frac{BL•BLx}{2R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{2R}$
對a棒，運(yùn)用動(dòng)量定理得（取向右為正方向）
-I_A=mv₂-mv₁
解得：v₂=$\frac{\sqrt{2gr}}{4}$
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：兩棒落到地面后的距離是：△x=（v₁-v₂）$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{\sqrt{rh}}{2}$
（3）b棒離開軌道前，兩棒通過的電流大小總是相等，兩棒產(chǎn)生的焦耳熱相等，Q_a=Q_b．
由能量守恒定律得：Q_a+Q_b=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$×2mv₁²=$\frac{1}{2}$mgr
可得：Q_a+Q_b=$\frac{1}{4}$mgr
b棒離開軌道后a棒產(chǎn)生的焦耳熱為：Q_a′=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²）=$\frac{3}{32}$mgr
所以a棒產(chǎn)生的總焦耳熱為：Q=Q_a+Q_a′=$\frac{1}{3}$mgr
答：（1）兩棒速度穩(wěn)定時(shí)，兩棒的速度均是$\frac{\sqrt{2gr}}{2}$．
（2）兩棒落到地面后的距離是$\frac{\sqrt{rh}}{2}$．
（3）整個(gè)過程中，a、b兩棒產(chǎn)生的焦耳熱分別是$\frac{1}{3}$mgr和$\frac{1}{4}$mgr．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是要正確分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況，知道兩棒都在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)遵守動(dòng)量守恒定律，與完全非彈性碰撞相似，抓住基本規(guī)律：動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律進(jìn)行研究．