Question

8．如圖所示，在粗糙水平臺階上靜止放置一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊，它與水平臺階表面的動摩擦因數(shù)μ=0.5，且與臺階邊緣O點(diǎn)的距離s=5m．在臺階右側(cè)固定了一個$\frac{1}{4}$圓弧擋板，圓弧半徑R=1m，圓弧的圓心也在O點(diǎn)．今以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．現(xiàn)用F=5N的水平恒力拉動小物塊，一段時間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板．（g取10m/s²）
（1）若小物塊擊中檔板上的P點(diǎn)（OP與水平方向夾角為37°，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）則其離開O點(diǎn)時的速度大小；
（2）為使小物塊擊中檔板，求拉力F作用的最短時間；
（3）改變拉力F的作用時間，使小物塊擊中擋板的不同位置．求擊中擋板時小物塊動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋知識求小物塊離開O點(diǎn)時的速度大�。�
（2）小物塊能擊中擋板，則小物塊必須能夠到達(dá)O點(diǎn)，據(jù)動能定理求得力F作用的位移，再根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和運(yùn)動學(xué)規(guī)律求得力F的作用時間；
（3）根據(jù)能擊中擋板的條件求出小物塊動能的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)分析求動能的最小值．

解答 解：（1）小物塊從O到P，做平拋運(yùn)動
水平方向：Rcos37°=v₀t
豎直方向：$Rsin37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：${v}_{0}=\frac{Rcos37°}{t}=\frac{Rcos37°}{\sqrt{\frac{2Rsin37°}{g}}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{3}m/s$
（2）為使小物塊擊中檔板，小物塊必須能運(yùn)動到O點(diǎn)，
由動能定理得：Fx-μmgS=△E_k=0
解得：$x=\frac{μmg}{F}S=\frac{0.5×0.5×10}{5}×5m$=2.5m
由牛頓第二定律得：F-μmg=ma
解得：$a=\frac{F}{m}-μg=\frac{5}{0.5}-0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
由運(yùn)動學(xué)公式得：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=1s
（3）設(shè)小物塊擊中擋板的任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由機(jī)械能守恒得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgy$
又x²+y²=R
化簡整理得：${E}_{k}=\frac{mg{R}^{2}}{4y}+\frac{3mgy}{4}$
由數(shù)學(xué)知識可得${E}_{kmin}=\frac{5\sqrt{3}}{2}J$
答：（1）若小物塊擊中檔板上的P點(diǎn)（OP與水平方向夾角為37°，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）則其離開O點(diǎn)時的速度大小為$\frac{4}{3}\sqrt{3}m/s$；
（2）為使小物塊擊中檔板，拉力F作用的最短時間為1s；
（3）改變拉力F的作用時間，使小物塊擊中擋板的不同位置．擊中擋板時小物塊動能的最小值為$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是掌握平拋運(yùn)動知識及牛頓運(yùn)動定律和動能定理的應(yīng)用，本題綜合性較高，需要掌握的知識點(diǎn)較多，題目較難．