Question

10．如圖甲所示，兩塊足夠大的平行金屬板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化、方向豎直向下的電場，變化規(guī)律如圖乙所示，在t=0時(shí)刻從負(fù)極板由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q（q＜0）的質(zhì)點(diǎn)．已知電場強(qiáng)度E₀=$\frac{mg}{q}$，同時(shí)t₀也為已知量．
（1）若質(zhì)點(diǎn)恰好在t=3t₀時(shí)刻到達(dá)正極板，試求兩極板之間的距離d
（2）在第（1）問的條件下，在極板間再加上空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化、方向垂直紙面向外的磁場，變化規(guī)律如圖丙所示，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=$\frac{2πm}{q{t}_{0}}$．試求：
①帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間到達(dá)正極板
②帶電質(zhì)點(diǎn)在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑
③畫出質(zhì)點(diǎn)在極板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（不需要寫計(jì)算過程）

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點(diǎn)在0～t₀時(shí)間內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，受力平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)，再做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，作出速度時(shí)間圖線，結(jié)合圖線圍成的面積求出兩極板間的距離．
（2）帶電質(zhì)點(diǎn)在t₀～2t₀時(shí)間和3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)，所受重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其它時(shí)間做勻加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合周期公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
最大半徑受到兩板之間的距離的影響，首先對其運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，結(jié)合板間距離，可分析出粒子能做幾個(gè)完整的圓周運(yùn)動(dòng)，從而得知做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑．

解答 解：（1）質(zhì)點(diǎn)在0～t₀時(shí)間內(nèi)，a=$\frac{{F}_{合}}{m}$=$\frac{2q{E}_{0}-mg}{m}=g$，做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)
在t₀～2t₀時(shí)間內(nèi)，受力平衡，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)，再做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，v-t圖象如圖．
有：d=6×$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}=3g{{t}_{0}}^{2}$．
（2）①帶電質(zhì)點(diǎn)在t₀～2t₀時(shí)間和3t₀～4t₀時(shí)間內(nèi)，所受重力和電場力平衡，洛倫茲力提供向心力作用，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其它時(shí)間做勻加速運(yùn)動(dòng)，帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
所以有：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}={t}_{0}$．
帶電質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)有：
d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}=\sqrt{6}{t}_{0}$
由于3t₀$＞\sqrt{6}{t}_{0}＞2{t}_{0}$，所以質(zhì)點(diǎn)在極板間將完成0-t₀時(shí)間內(nèi)勻加速運(yùn)動(dòng)，t₀-2t₀時(shí)間內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)，2t₀-3t₀時(shí)間內(nèi)勻加速運(yùn)動(dòng)，3t₀-4t₀時(shí)間內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)，
$2{t}_{0}-\sqrt{6}{t}_{0}$時(shí)間內(nèi)勻加速運(yùn)動(dòng)直到正極板，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為${t}_{總}=t+2T=\sqrt{6}{T}_{0}+2{t}_{0}$=$（2+\sqrt{6}）{t}_{0}$．
②帶電質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：R=$\frac{mv}{q{B}_{0}}=\frac{v{t}_{0}}{2π}$．
可見質(zhì)點(diǎn)速度越大，圓軌道的半徑也越大，即質(zhì)點(diǎn)經(jīng)歷0～t₀時(shí)間和2t₀～3t₀兩段時(shí)間加速后圓軌道半徑最大．
質(zhì)點(diǎn)勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，v=at=2gt₀，
所以圓軌道最大半徑為R=$\frac{v{t}_{0}}{2π}=\frac{2g{{t}_{0}}^{2}}{2π}=\frac{g{{t}_{0}}^{2}}{π}$．
同時(shí)：R+$\frac{1}{2}a（2{t}_{0}）^{2}=g{{t}_{0}}^{2}（2+\frac{1}{π}）＜d$，質(zhì)點(diǎn)沒有到達(dá)正極板．
③如圖                                      

答：（1）求兩極板之間的距離為$3g{{t}_{0}}^{2}$；
（2）①帶電質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過$（2+\sqrt{6}）{t}_{0}$時(shí)間到達(dá)正極板；
②帶電質(zhì)點(diǎn)在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為$\frac{g{{t}_{0}}^{2}}{π}$；
③如圖所示．

點(diǎn)評 帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)是力學(xué)問題
1、帶電粒子在電場、磁場和重力場等共存的復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，其受力情況和運(yùn)動(dòng)圖景都比較復(fù)雜，但其本質(zhì)是力學(xué)問題，應(yīng)按力學(xué)的基本思路，運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律研究和解決此類問題．
2、分析帶電粒子在復(fù)合場中的受力時(shí)，要注意各力的特點(diǎn)，如帶電粒子無論運(yùn)動(dòng)與否，在重力場中所受重力及在勻強(qiáng)電場中所受的電場力均為恒力，而帶電粒子在磁場中只有運(yùn)動(dòng) （且速度不與磁場平行）時(shí)才會(huì)受到洛侖茲力，力的大小隨速度大小而變，方向始終與速度垂直，故洛侖茲力對運(yùn)動(dòng)電荷只改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向，不改變大�。�