Question

3．如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，一端系在豎直放置、半徑為R的光滑圓環(huán)頂點(diǎn)P，另一端連接一套在圓環(huán)上且質(zhì)量為m的小球，開始時(shí)小球位于A點(diǎn)，此時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)且與豎直方向的夾角為45°，之后小球由靜止沿圓環(huán)下滑，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速率為v，此時(shí)小球與圓環(huán)之間壓力恰好為零．下列分析正確的是（　�。�

• A． 小球過B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小為m$\frac{{v}^{2}}{R}$
• B． 小球過B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小為k（2R-$\sqrt{2}$R）
• C． 從A到B的過程中，重力勢(shì)能和彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能
• D． 從A到B的過程中，重力對(duì)小球做的功等于小球克服彈簧彈力做的功

Answer 1

分析 小球過B點(diǎn)時(shí)，由重力和彈簧彈力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出彈簧的彈力．也可根據(jù)胡克定律求彈力．
從A到B的過程中，小球的機(jī)械能減小．小球受到彈簧的彈力做負(fù)功，重力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理分析兩個(gè)功之間的大小關(guān)系．

解答 解：A、小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)B時(shí)速率為v，此時(shí)小球與圓環(huán)之間壓力恰好為零，則知由彈簧的彈力與重力的合力恰好提供小球所需要的向心力．則：
  F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，所以小球過B點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈力大小為F=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$，故A錯(cuò)誤．
B、小球過B點(diǎn)時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量：x=2R-$\sqrt{2}$R，彈力大小為 F=kx=k（2R-$\sqrt{2}$R）．故B正確．
C、從A到B的過程中，彈簧的彈性勢(shì)能增大，小球的重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，則知重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能．故C錯(cuò)誤．
D、從A到B的過程中，重力做正功，彈簧的彈力做負(fù)功，由于動(dòng)能增大，由動(dòng)能定理知，總功為正，所以重力對(duì)小球做的功大于小球克服彈簧彈力做的功．故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題中小球的機(jī)械能不守恒，可以從能量轉(zhuǎn)化的角度進(jìn)行分析．確定功的大小，可以根據(jù)動(dòng)能定理分析總功的正負(fù)來判斷．