Question

10．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，引力常量為G，由此可求出這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為（　　）

• A． $\frac{4{π}^{2}{r}^{2}（r-{r}_{1}）}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{T}^{2}}$
• C． $\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
• D． $\frac{4{π}^{2}{r}^{2}{r}_{1}}{G{T}^{2}}$

Answer 1

分析 雙星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題

解答 解：設(shè)兩顆星質(zhì)量分別為${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為${r}_{1}^{\;}$、${r}_{2}^{\;}$，周期為T，根據(jù)牛頓第二定律，有
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}$
${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}$
${m}_{總}^{\;}={m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）}{G{T}_{\;}^{2}}$
因?yàn)?{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=r$
所以${m}_{總}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
故選：C

點(diǎn)評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．