Question

16．圖1是交流發(fā)電機模型示意圖．在磁感應強度為B的勻強磁場中，有一矩形線圖abcd可繞線圈平面內垂直于磁感線的軸OO′轉動，由線圈引出的導線ae和df分別與兩個跟線圈一起繞OO′轉動的金屬圈環(huán)相連接，金屬圈環(huán)又分別與兩個固定的電刷保持滑動接觸，這樣矩形線圈在轉動中就可以保持和外電阻R形成閉合電路．圖2是線圈的正視圖，導線ab和cd分別用它們的橫截面來表示．已知ab長度為L₁，bc長度為L₂，線圈以恒定角速度ω逆時針轉動．（共N匝線圈）

（1）線圈平面處于中性面位置時開始計時，推導t時刻整個線圈中的感應電動勢e₁表達式； 
（2）線圈平面處于與中性面成φ₀夾角位置時開始計時，如圖3所示，寫出t時刻整個線圈中的感應電動勢e₂的表達式；
（3）若線圈電阻為r，求電阻R兩端測得的電壓，線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱．（其它電阻均不計）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉動過程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉動線速度，根據E=BLv，求出導線ab和cd因切割磁感線而產生的感應電動勢，從而寫出瞬時表達式；
（2）線圈平面處于與中性面成φ₀夾角位置時開始計時，則在（1）中的瞬時表達式中加個相位即可；
（3）先求出平均電動勢，根據歐姆定律求出平均電流，根據Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）電動勢的峰值E_m=NBSω=NBL₁L₂ω，
θ=ωt，
則t時刻整個線圈中的感應電動勢e₁表達式e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）當線圈由圖3位置開始運動時，在t時刻整個線圈的感應電動勢為e₂=NBL₁L₂ωsin（ωt+φ₀）
（3）由閉合電路歐姆定律可知I=$\frac{E}{R+r}$，
這里的E為線圈產生的電動勢的有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{NB{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$，
則線圈轉動一周在R上產生的焦耳熱為${Q}_{R}={I}^{2}RT$，
其中$T=\frac{2π}{ω}$，
所以Q=N²$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．
答：（1）t時刻整個線圈中的感應電動勢e₁表達式為e₁=NBL₁L₂ωsinωt．
（2）t時刻整個線圈中的感應電動勢e₂的表達式e₂=NBL₁L₂ωsin（ωt+φ₀）
（3）線圈每轉動一周電阻R上產生的焦耳熱N²$\frac{πωR{N}^{2}{B}^{2}{{L}_{1}}^{2}{{L}_{2}}^{2}}{（R+r）^{2}}$．

點評 當線圈與磁場相平行時，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時產生的感應電動勢最大．求電荷量時，運用交流電的平均值，求產生的熱能時，用交流電的有效值．