Question

1．土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，繞土星的運動可視為圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A和B與土星中心的距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵ km，忽略所有巖石顆粒間的相互作用．
（1）求巖石顆粒A和B的線速度之比；
（2）求巖石顆粒A和B的周期之比．

Answer 1

分析 （1）巖石顆粒繞土星做圓周運動的向心力來源于土星的萬有引力，由牛頓第二定律和萬有引力定律列式，得到線速度的表達式，即可求解線速度之比．
（2）由圓周運動的基本規(guī)律求周期之比．

解答 解：（1）設土星質(zhì)量為M₀，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，由牛頓第二定律和萬有引力定律有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
即：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
巖石顆粒A和B的線速度之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{\sqrt{{r}_{B}}}{\sqrt{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1.2×1{0}^{5}}{8×1{0}^{4}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
（2）設顆粒繞土星作圓周運動的周期為T，則有：$T=\frac{2πr}{v}$
巖石顆粒A和B的周期之比是：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}×\frac{{v}_{B}}{{v}_{a}}=\frac{8×1{0}^{4}}{1.2×1{0}^{5}}×\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$
答：（1）巖石顆粒A和B的線速度之比為$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）巖石顆粒A和B的周期之比是$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．

點評 此題是衛(wèi)星類型，抓住萬有引力等于向心力及圓周運動的基本規(guī)律，即可進行求解．