Question

12．在天花板與墻角處有一平面蜘蛛網(wǎng)OB與天花板成45°角．有一質量為m的蜘蛛通過長為l的蛛絲懸掛在蜘蛛網(wǎng)頂端O點，若蜘蛛從蛛絲與豎直成60°的位置由靜止擺下，忽略空氣阻力，將蜘蛛看做質點，重力加速度為g，求：
（1）蜘蛛擺到最低點時，蛛絲受到的拉力有多大？
（2）若蜘蛛擺到最低點時蜘蛛所抓的食物脫落，試證明食物不會落到蜘蛛網(wǎng)上（蛛網(wǎng)足夠長）

Answer 1

分析 （1）對蜘蛛擺到最低點的過程，由動能定理可得蜘蛛擺到最低點時的速度，在最低點由牛頓第二定律可求蛛絲受到的拉力；
（2）蜘蛛擺到最低點時蜘蛛所抓的食物脫落，則食物做平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式結合數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）對蜘蛛擺到最低點的過程，由動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg（l-lsin30°）$①
在最低點由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$②
由①②解得：
F=2mg
（2）蜘蛛擺到最低點時蜘蛛所抓的食物脫落，則食物做平拋運動，設下落的高度為h時，落到蜘蛛網(wǎng)上，運動軌跡如圖所示：

由①式得：v=$\sqrt{gl}$，
根據(jù)幾何關系可知，水平位移x=l+h，
豎直方向下落的時間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
水平方向有：x=vt=$\sqrt{gl}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{2hl}$，
根據(jù)數(shù)學知識可知，l+h$≥\sqrt{hl}$，只有當l=h時，兩者相等，
因為蛛網(wǎng)足夠長，所以l+h$＞\sqrt{hl}$，所以不會落到蜘蛛網(wǎng)上．
答：（1）蜘蛛擺到最低點時，蛛絲受到的拉力為2mg；
（2）證明如上．

點評 本題考查動能定律、牛頓第二定律及平拋運動基本公式的直接應用，知道蜘蛛擺到最低點時蜘蛛所抓的食物脫落后做平拋運動，注意幾何關系的應用，難度適中．