Question

14．火星和地球繞太陽均可看作是勻速圓周運動，其中火星繞太陽運動的周期為2年，則火星與地球每隔2.3年相距最近一次．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，列式可得周期的表達式，求得地球和火星的周期之比，這樣可以解出火星的周期．兩星轉過的角度之差△θ=2π時，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時間

解答 解：設行星質量為m，太陽質量為M，行星與太陽的距離為r，火星的周期為T₁，地球的周期為T₂．
行星繞太陽做近似勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律有
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
則得 T²=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}$
地球的周期為T₂=1年，則有（$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$）²=（$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$）³
解得火星的周期為T₁=1.8年
設經(jīng)時間t兩星又一次距離最近，
根據(jù)θ=ωt
則兩星轉過的角度之差
△θ=（$\frac{2π}{{T}_{2}}$-$\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
得t=2.3年
故答案為：2.3

點評 本題也可運用開普勒周期定律求解火星的運動周期．這種方法，很好理解，關鍵確定相距最近的條件