Question

9．如圖所示，將一個(gè)折射率為n=$\frac{4}{3}$矩形截面長(zhǎng)方體玻璃磚放在空氣中，一單色細(xì)光束由P點(diǎn)射入玻璃磚，入射角為θ，AP=$\frac{3}{4}$AD．求：
（1）若要使光束進(jìn)入玻璃磚后能射至AD面上，角θ的最小值為多少？
（2）若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，角θ的范圍如何？（用sinθ表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折射定律，結(jié)合幾何關(guān)系求出使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上時(shí)最小的折射角，由折射定律求角θ的最小值．
（2）結(jié)合全反射的條件，以及折射定律和幾何關(guān)系求出角θ的范圍．

解答 解：（1）要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，設(shè)最小折射角為α．AP=3d，則AD=4d．根據(jù)幾何關(guān)系有
  sinα=$\frac{AP}{\sqrt{A{P}^{2}+A{D}^{2}}}$=$\frac{3d}{\sqrt{（3d）^{2}+（438gkdv9^{2}）}}$=$\frac{3}{5}$．
根據(jù)折射定律有
  $\frac{sinθ}{sinα}$=n
解得角θ的最小值 θ=arcsin（nsinα）=arcsin（$\frac{4}{3}×\frac{3}{5}$）=53°
（2）如圖，要此光束在AD面上發(fā)生全反射，則要求射至AD面上的入射角β應(yīng)滿足
 sinβ≥sinC
又 sinC=$\frac{1}{n}$
則sinβ≥$\frac{1}{n}$
由幾何關(guān)系有，sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$
聯(lián)立得  $\sqrt{1-\frac{si{n}^{2}θ}{{n}^{2}}}$≥$\frac{1}{n}$
聯(lián)立得 sinθ＜$\sqrt{{n}^{2}-1}$=$\sqrt{（\frac{4}{3}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
所以若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，角θ的范圍為sin53°＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．即$\frac{4}{5}$＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
答：
（1）若要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，角θ的最小值為53°．
（2）若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，角θ的范圍為$\frac{4}{5}$＜sinθ＜$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折射定律和全反射條件的基本運(yùn)用，要能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何求解相關(guān)角度，需加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解題能力．