Question

18．初速為零的正離子經(jīng)過電勢差為U的電場加速后，從離子槍T中水平射出后進(jìn)入無限大的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的勻強(qiáng)磁場中，距離離子槍右側(cè)d處有一長為d的正對平行金屬板，金屬板間距也為d，且兩金屬板中線恰好與離子從離子槍出射的初速度方向共線，如圖所示．不計重力，離子荷質(zhì)比在什么范圍內(nèi)離子才能打在金屬板上．

Answer 1

分析 由動能定理，可列出離子加速后獲得的速度與電壓關(guān)系式．離子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合勾股定理可得出半徑的范圍，最后由牛頓第二定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，即可求解離子能打在金屬板上的比荷范圍．

解答 解：正離子經(jīng)加速電場加速的過程，由動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
若離子正好打到金屬板的近側(cè)邊緣M，其軌跡如圖，則其偏轉(zhuǎn)半徑R₁滿足關(guān)系為：R₁²=d²+（R₁-$\frac{1}{2}$d）² 
即得：R₁=$\frac{5}{4}$d 
若離子正好打到金屬板的遠(yuǎn)側(cè)邊緣N，則其偏轉(zhuǎn)半徑滿足關(guān)系 R₂²=（2d）²+（R₂-$\frac{1}{2}$d）² 
即得：R₂=$\frac{17}{4}$d  
由牛頓第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得 $\frac{m}{q}$=$\frac{RB}{v}$
將v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$代入得 $\frac{q}{m}$=$\frac{2U}{{R}^{2}{B}^{2}}$
將R₁=$\frac{5}{4}$d和R₂=$\frac{17}{4}$d分別代入上式解得 $\frac{{q}_{1}}{{m}_{1}}$=$\frac{32U}{25{B}^{2}1166161^{2}}$，$\frac{{q}_{2}}{{m}_{2}}$=$\frac{32U}{289{B}^{2}6616661^{2}}$
所以離子荷質(zhì)比在$\frac{32U}{289{B}^{2}1611616^{2}}$≤$\frac{q}{m}$≤$\frac{32U}{25{B}^{2}6666116^{2}}$范圍內(nèi)離子才能打在金屬板上．
答：離子荷質(zhì)比在$\frac{32U}{289{B}^{2}6166161^{2}}$≤$\frac{q}{m}$≤$\frac{32U}{25{B}^{2}1616666^{2}}$范圍內(nèi)離子才能打在金屬板上．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，運(yùn)用動能定理求得加速獲得的速度是基本方法．帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動時，要抓住洛倫茲力提供向心力，能熟練運(yùn)用牛頓第二定律與向心力結(jié)合得到半徑表達(dá)式，本題利用幾何關(guān)系，確定運(yùn)動軌道半徑的范圍是解題的關(guān)鍵．