Question

19．如圖所示，豎直圓環(huán)A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側(cè)各有一擋板固定在地面上，使B不能左右移動，在環(huán)的最低點(diǎn)靜止放置一個(gè)小球C．A、B、C的質(zhì)量均為m，給小球一水平向右的瞬時(shí)速度v，小球會在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動．不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g，為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起，瞬時(shí)速度v不可能（　　）

• A． $\sqrt{2gr}$
• B． $\sqrt{5gr}$
• C． $\sqrt{6gr}$
• D． $\sqrt{7gr}$

Answer 1

分析 小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動，通過最高點(diǎn)速度最小時(shí)，軌道對球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的最小速度；為了不會使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點(diǎn)對軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的最大速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球在最低點(diǎn)的速度范圍．

解答 解：在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，解得${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)最低點(diǎn)的速度為v₁′，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
 2mgr+$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{1}{′}^{2}$，解得${v}_{1}′=\sqrt{5gr}$，
要使不會使環(huán)在豎直方向上跳起，環(huán)對球的壓力最大為：
 F=2mg
從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)此時(shí)最低點(diǎn)的速度為v₂′，
在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：mg+2mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}{′}^{2}$，
解得${v}_{2}′=\sqrt{7gr}$，
所以為保證小球能通過環(huán)的最高點(diǎn)，且不會使木板離開地面，在最低點(diǎn)的初速度范圍為$\sqrt{5gr}≤v≤\sqrt{7gr}$．故A錯(cuò)誤，B、C、D正確．
本題選不可能的，故選：A．

點(diǎn)評 本題綜合考查了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點(diǎn)的兩個(gè)臨界情況，求出在最高點(diǎn)的最大速度和最小速度．