Question

7．萬有引力定律清楚的向人們揭示復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的背后隱藏著簡潔的科學(xué)規(guī)律，天上和地上的萬物遵循同樣的科學(xué)法則．
（1）已知引力常數(shù)G、地面的重力加速度g和地球半徑R，根據(jù)以上條件，求地球的質(zhì)量和密度．
（2）隨著我國“嫦娥三號(hào)”探測器降落月球，“玉兔”巡視器對(duì)月球進(jìn)行探索，我國對(duì)月球的了解越來越深入．若已知月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月，嫦娥三號(hào)在降落月球前某階段繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，試求嫦娥三號(hào)該階段繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．

Answer 1

分析 （1）地球表面的物體受到的重力等于地球?qū)λ�的萬有引力，據(jù)此求出地球的質(zhì)量，然后應(yīng)用密度公式求出密度．
（2）萬有引力提供嫦娥三號(hào)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出軌道半徑．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M．某物體質(zhì)量為m，
地球表面的物體受到的重力等于地球?qū)λ�的萬有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得，地球質(zhì)量：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
地球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，
（2）對(duì)月球上的某物體受到的重力等于萬有引力：mg_月=G$\frac{{M}_{月}m}{{R}_{月}^{2}}$，
對(duì)嫦娥三號(hào)繞月運(yùn)行，由牛頓第二定律得：G$\frac{{M}_{月}m′}{{r}^{2}}$=m′$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r=$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{R}_{月}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$，密度為$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）嫦娥三號(hào)該階段繞月球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r$\root{3}{\frac{{g}_{月}{T}^{2}{R}_{月}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道萬有引力等于重力、萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，解題時(shí)要注意GM的代換．