Question

13．如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電阻不計(jì)，足夠長(zhǎng)的光滑U形金屬框架MNPQ，位于光滑水平桌面上，分界線OO′分別與平行導(dǎo)軌MN和PQ垂直，兩導(dǎo)軌相距L，在OO′的左右兩側(cè)存在著區(qū)域很大、方向分別為豎直向上和豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為B，另有質(zhì)量也為m的金屬棒CD，垂直于MN放置在OO′左側(cè)導(dǎo)軌上，并用一根細(xì)線系在定點(diǎn)A．已知，細(xì)線能承受的最大拉力為T₀，CD棒接人導(dǎo)軌間的有效電阻為R，現(xiàn)從t=0時(shí)刻開始對(duì)U形框架施加水平向右的拉力F，使其從靜止開始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）求從框架開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂所需的時(shí)間t₀；
（2）若細(xì)線尚未斷裂，求在t時(shí)刻水平拉力F的大��；
（3）若在細(xì)線斷裂時(shí)，立即撤去拉力F，求此時(shí)線框的瞬時(shí)速度v₀和此后過程中回路產(chǎn)生的總焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）ab棒向右做勻加速運(yùn)動(dòng)進(jìn)，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，cd受到向右的安培力作用，當(dāng)安培力大小等于細(xì)線的最大拉力時(shí)，細(xì)線被拉斷．根據(jù) E=BLv、F=BIL，$v=a{t}_{0}^{\;}$，推導(dǎo)出安培力F的表達(dá)式，根據(jù)$F={T}_{0}^{\;}$，即可求得${t}_{0}^{\;}$；
（2）在細(xì)線尚未斷裂時(shí)，對(duì)框架運(yùn)用牛頓第二定律可求出F的表達(dá)式
（3）根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，根據(jù)能量守恒求解回路總共產(chǎn)生的電熱．

解答 解：（1）設(shè)繩被拉斷時(shí)回路中的電流為I，設(shè)拉斷時(shí)框架NQ中電動(dòng)勢(shì)為E，速度為v，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
E=BLv
$I=\frac{E}{R}$
$v=a{t}_{0}^{\;}$
cd棒所受的安培力為F=BIL
聯(lián)立解得${F}_{安}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}$
細(xì)線即將拉斷時(shí)，對(duì)cd有：${T}_{0}^{\;}={F}_{安}^{\;}$
解得${t}_{0}^{\;}=\frac{{T}_{0}^{\;}R}{a{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
（2）對(duì)框架，根據(jù)牛頓第二定律，有$F-{F}_{安}^{\;}=ma$
解得$F=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}+ma$
（3）在細(xì)線斷裂時(shí)，立即撤去拉力F，求此時(shí)線框的瞬時(shí)速度v₀
${v}_{0}^{\;}=a{t}_{0}^{\;}=\frac{{T}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$，
根據(jù)動(dòng)量守恒，最終棒和框架速度均為v
$m{v}_{0}^{\;}=2mv$
解得$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
根據(jù)能量守恒定律得$Q=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（2m）{v}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立以上各式得$Q=\frac{m{T}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$
答：（1）從框架開始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線斷裂所需的時(shí)間為$\frac{{T}_{0}^{\;}R}{a{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$；
（2）若細(xì)線尚未斷裂，在t時(shí)刻水平拉力F的大小$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}at}{R}+ma$；
（3）若在細(xì)線斷裂時(shí)，立即撤去拉力F，此時(shí)線框的瞬時(shí)速度$\frac{{T}_{0}^{\;}R}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$和此后過程中回路產(chǎn)生的總焦耳熱Q為$\frac{m{T}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{4{B}_{\;}^{4}{L}_{\;}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)、閉合電路歐姆定律等知識(shí)的綜合題，重點(diǎn)在于分析導(dǎo)體棒和框架的受力和運(yùn)動(dòng)情況，求焦耳熱通常根據(jù)能量守恒定律求解．