Question

19．如圖所示，兩平行光滑金屬導(dǎo)軌相距L固定在水平絕緣臺(tái)面上，半徑為 R₁、R₂的$\frac{1}{4}$光滑圓弧導(dǎo)軌與水平直導(dǎo)軌平滑連接，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．兩金屬棒ab、cd垂直兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好，ab棒質(zhì)量為2m、電阻為r，cd棒質(zhì)量為m、電阻為r．開(kāi)始時(shí)cd棒靜止在水平直導(dǎo)軌上，ab棒從圓弧導(dǎo)軌的頂端無(wú)初速釋放，最后兩棒都離開(kāi)軌道落到地面上．導(dǎo)軌電阻不計(jì) 并且水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，ab與cd棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程始終沒(méi)有接觸．求：
（1）cd棒在水平直導(dǎo)軌上的最大加速度．
（2）為確保兩棒都能脫離圓形軌道水平飛出，R₁與R₂的比值至少應(yīng)滿(mǎn)足什么條件．

Answer 1

分析 （1）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，cd棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大．根據(jù)ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒求解進(jìn)入磁場(chǎng)之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL結(jié)合求出安培力，即可由牛頓第二定律求解最大加速度；
（2）當(dāng)cd脫離軌道能飛出時(shí)速度v，ab速度也為v，根據(jù)重力提供向心力列式，再根據(jù)ab、cd在水平軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程動(dòng)量守恒列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v₀，cd棒在水平直導(dǎo)軌上有最大加速度，機(jī)械能守恒：
$2mg{R}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
ab切割產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E，則有：
E=BLv₀
電流為：$I=\frac{E}{2r}$
F_安=BIL
對(duì)cd：F_安=BIL=ma
得：$a=\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2g{R}_{1}}}{2rm}$
（2）當(dāng)cd脫離軌道能飛出時(shí)速度v，ab速度也為v，
根據(jù)重力提供向心力得：$mg=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
ab、cd在水平軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程動(dòng)量守恒：2mv₀=（2m+m）v
代入得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{9}{8}$
答：（1）cd棒在水平直導(dǎo)軌上的最大加速度為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2g{R}_{1}}}{2rm}$．
（2）為確保兩棒都能脫離圓形軌道水平飛出，R₁與R₂的比值至少應(yīng)滿(mǎn)足$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、磁場(chǎng)、力學(xué)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況，考查分析和處理綜合題的能力，難度適中．