Question

13．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，地球的自轉周期為T．求：
（1）衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的第一宇宙速度v；
（2）地球的同步衛(wèi)星的離地高度h．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近地球表面做圓周運動的速度，其軌道半徑近似等于地球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及黃金代換公式，求出同步衛(wèi)星離地高度h．

解答 解：（1）地球的質量為M，衛(wèi)星的質量為m，衛(wèi)星在地球表面附近$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
第一宇宙速度是指衛(wèi)星在地球表面做勻速圓周運動的速度，萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}$
（2）由題意可知，地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期與地球自轉的周期相等，也為T，設同步衛(wèi)星的質量為m?，軌道半徑為r，則有
$G\frac{Mm'}{r^2}=m'\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$，其中r=R+h
解得：$h=\root{3}{{\frac{{g{R^2}{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$
答：（1）衛(wèi)星環(huán)繞地球運行的第一宇宙速度v為$\sqrt{gR}$；
（2）地球的同步衛(wèi)星的離地高度h為$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$．

點評 解決本題的關鍵知道不考慮地球自轉時，萬有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼著地球表面做勻速圓周運動的速度．