Question

15．如圖所示為常見(jiàn)的高速公路出口匝道，把AB段和CD段均簡(jiǎn)化為直線，汽車均做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，BC段按照四分之一的水平圓周分析，汽車在此段做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓弧段限速v₀=36km/h，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．已知AB段和CD段長(zhǎng)度分別為200m和100m，汽車在出口的速度為v₁=108km/h．重力加速度g取l0m/s²．
（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為36km/h，求轎車在AB下坡段加速度的大��；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，求水平圓弧段BC半徑R的最小值；
（3）轎車恰好停在D點(diǎn)，則A點(diǎn)到D點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求解轎車在AB下坡段加速度的大��；
（2）汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大值時(shí)，半徑R最��；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求A點(diǎn)到D點(diǎn)的時(shí)間；

解答 解：${v}_{0}^{\;}=36km/h=10m/s$         ${v}_{1}^{\;}=108km/h=30m/s$
（1）對(duì)AB段勻減速直線運(yùn)動(dòng)有：${v}_{0}^{\;}-{v}_{1}^{2}=-2a{l}_{AB}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)：$1{0}_{\;}^{2}-3{0}_{\;}^{2}=-2a×200$
解得$a=2m/{s}_{\;}^{2}$
（2）汽車在BC段做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力
${F}_{f}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
當(dāng)靜摩擦力達(dá)最大靜摩擦力時(shí)，半徑R最小
$μmg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}=\frac{1{0}_{\;}^{2}}{0.2×10}=50m$
解得R≥50m，即最小半徑為50m
（3）設(shè)AB段時(shí)間為${t}_{1}^{\;}$，BC段時(shí)間為${t}_{2}^{\;}$，CD段時(shí)間為${t}_{3}^{\;}$，全程所用最短時(shí)間為t
${l}_{AB}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{\;}+{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}$
$\frac{πR}{2}={v}_{0}^{\;}{t}_{2}^{\;}$
${l}_{CD}^{\;}=\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}{t}_{3}^{\;}$
$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
解得：t=37.85s
答：（1）若轎車到達(dá)B點(diǎn)速度剛好為36km/h，轎車在AB下坡段加速度的大小為$2m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）為保證行車安全，車輪不打滑，水平圓弧段BC半徑R的最小值為50m；
（3）轎車恰好停在D點(diǎn)，則A點(diǎn)到D點(diǎn)的時(shí)間37.85s

點(diǎn)評(píng) 本題是運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)綜合題，能結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)情況，靈活選擇運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式形式是關(guān)鍵，當(dāng)不涉及加速度而要求時(shí)間時(shí)，可用位移等于平均速度乘以時(shí)間來(lái)求．