Question

11．如圖所示，分布在半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里，帶電量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子從磁場(chǎng)的邊緣A點(diǎn)沿圓半徑AO方向射入磁場(chǎng)，穿過磁場(chǎng)區(qū)域后速度方向偏轉(zhuǎn)了2θ角，其中tanθ=0.5．求：
（1）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間和入射速度的大�。�
（3）若保持帶電粒子從A點(diǎn)射入時(shí)的速度大小不變，改變粒子的入射方向，使粒子仍在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則粒子在這個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)左手定則判定：粒子受到的洛倫茲力的方向；粒子飛出此磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)2θ角，則知帶電粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角也等于2θ°，畫出軌跡．
（2）粒子在射入磁場(chǎng)中，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求入射速度；根據(jù)粒子的周期公式和偏轉(zhuǎn)的角度求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）當(dāng)粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度最大時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，根據(jù)粒子的周期公式和偏轉(zhuǎn)的角度求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)左手定則判定：粒子受到的洛倫茲力的方向向上，粒子離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)2θ角，則帶電粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角也等于2θ，畫出軌跡，如圖，

（2）根據(jù)幾何關(guān)系有：$\frac{r}{R}=tanθ=0.5$
所以：$R=\frac{r}{tan30°}=2r$，
洛侖茲力提供向心力，有：${F}_{洛}=\frac{m{v}^{2}}{R}$
即有：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以：$v=\frac{2Bqr}{m}$
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2π×2r}{\frac{2Bqr}{m}}=\frac{2πm}{qB}$
又：$\frac{2θ}{2π}=\frac{t}{T}$
所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{θ}{π}•T$=$\frac{2θ•m}{qB}$
（3）粒子速率不變，則軌道半徑R不變，當(dāng)粒子的軌跡的弦長(zhǎng)最大時(shí)，粒子的軌跡有最大偏角，設(shè)為2β，則：sinβ=$\frac{r}{R}=0.5$，β=$\frac{π}{6}$，
粒子的在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：$t′=\frac{β}{π}•T$=$\frac{\frac{π}{6}}{π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$
答：（1）畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是$\frac{2θ•m}{qB}$，入射速度的大小是$\frac{2Bqr}{m}$．
（3）若保持帶電粒子從A點(diǎn)射入時(shí)的速度大小不變，改變粒子的入射方向，使粒子仍在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則粒子在這個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是$\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是畫出粒子圓周的軌跡，往往用數(shù)學(xué)知識(shí)求半徑．