Question

18．如圖，在水平軌道上豎直安放一個(gè)與水平面夾角為θ，長(zhǎng)度為L(zhǎng)₀，順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的傳送帶和一半徑為R的豎直圓形光滑軌道，水平軌道PQ段鋪設(shè)特殊材料，其長(zhǎng)度L可調(diào)；水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊A由傳送帶頂端靜止釋放，通過傳送帶、圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈回．已知R=0.2m，θ=37°，L₀=1.6m，L=1.5m，物塊A質(zhì)量為m=1kg，與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.125，與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，不計(jì)軌道其他部分摩擦及物塊從傳送帶滑到水平軌道時(shí)機(jī)械能的損失．取g=10m/s²，求：

（1）物塊A從傳送帶頂端滑到底端時(shí)速度的大��；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)所具有的彈性勢(shì)能；
（3）若物塊A仍由傳送帶頂端靜止釋放，調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，使物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離，L應(yīng)滿足何條件．

Answer 1

分析 （1）物塊A在傳送帶上下滑的過程，根據(jù)動(dòng)能定理求解；
（2）小物塊A從傳送帶底端至彈簧被壓縮到最短的過程中，根據(jù)能量守恒求解最大彈性勢(shì)能；
（3）分小物塊A能返回圓形軌道，能不能通過最高點(diǎn)兩種情況求解，注意動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)基本公式得聯(lián)合解答．

解答 解：（1）小物體A從傳送帶滑下過程，由動(dòng)能定理有：
   mgL₀sinθ-μ₁mgL₀cosθ=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：v₁=4m/s
（2）小物塊A從傳送帶底端至彈簧被壓縮到最短的過程中，有：
  E_P+μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：E_P=5J
（3）若小物塊A能返回圓形軌道，但不能通過最高點(diǎn)，則A從沖上圓形軌道至返回圓形軌道上升到最大高度的過程有：
程有：
-mgh-2μ₂mgL=0-$\frac{1}{2}$mv₁² ①
又  0＜h≤R  ②
由①②解得：1.5m≤L＜2m
若小物塊A能返回圓形軌道，但能通過最高點(diǎn)，則A從沖上圓形軌道至返回圓形軌道最高點(diǎn)的過程有：
-2mgR-2μ₂mgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²③
在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律有 mg+N=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$ ④
且有 N≥0 ⑤
由③④⑤得：L≤0.75m
綜上可知，L應(yīng)滿足的條件為L(zhǎng)≤0.75m或1.5m≤L＜2m．
答：
（1）物塊A從傳送帶頂端滑到底端時(shí)速度的大小為4m/s；
（2）彈簧被壓縮到最短時(shí)所具有的彈性勢(shì)能為5J；
（3）若物塊A仍由傳送帶頂端靜止釋放，調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，使物塊A能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離，L應(yīng)滿足何條件為L(zhǎng)≤0.75m或1.5m≤L＜2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)問題，牽涉的運(yùn)動(dòng)模型較多，物體情境復(fù)雜，關(guān)鍵是按照運(yùn)動(dòng)的過程逐步分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，判斷能量是如何轉(zhuǎn)化的，再選擇合適的規(guī)律研究．