Question

2．如圖所示，半徑為R的半球形碗豎直固定，直徑AB水平，一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）由直徑AB上的某點(diǎn)以初速度v₀水平拋出，小球落進(jìn)碗內(nèi)與內(nèi)壁碰撞，碰撞時(shí)速度大小為2$\sqrt{gR}$，結(jié)果小球剛好能回到拋出點(diǎn)，設(shè)碰撞過程中不損失機(jī)械能，重力加速度為g，則初速度v₀大小應(yīng)為（　�。�

• A． $\sqrt{gR}$
• B． $\sqrt{2gR}$
• C． $\sqrt{3gR}$
• D． 2$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 球欲回到拋出點(diǎn)，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和幾何關(guān)系求解拋出點(diǎn)距AB弧圓心O的距離．由平拋運(yùn)動的規(guī)律求解小球與圓弧AB的內(nèi)壁碰撞時(shí)的速度大�。�

解答 解：小球欲回到拋出點(diǎn)，與弧面的碰撞必須是垂直弧面的碰撞，即速度方向沿弧AB的半徑方向．設(shè)碰撞點(diǎn)和O的連線與水平夾角α，拋出點(diǎn)和碰撞點(diǎn)連線與水平夾角為β，如圖，則有：
由y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=Rsinα，
得：t=$\sqrt{\frac{2Rsinα}{g}}$
豎直方向的分速度為：${v}_{y}=gt=\sqrt{2gRsinα}$
水平方向的分速度為：${v}_{0}=\sqrt{（2\sqrt{gR}）^{2}-（\sqrt{2gRsinα}）^{2}}$=$\sqrt{4gR-2gRsinα}$
又：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{gt}{{v}_{0}}$
而：$tanβ=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$
所以：tanα=2tanβ
所以物體沿水平方向的位移為：x=2Rcosα
又：x=v₀t
聯(lián)立以上的方程可得：${v}_{0}=\sqrt{3gR}$．故ABD錯(cuò)誤，C正確．
故選：C

點(diǎn)評 該題中，由于拋出點(diǎn)的位置是不知道的，需要根據(jù)位移偏轉(zhuǎn)角的正切值與速度偏轉(zhuǎn)角的正切值之間的關(guān)系正確找到拋出點(diǎn)的位置，然后才能正確解答，對數(shù)學(xué)的知識要求較高，在解答的過程中要注意咀嚼、品味．