Question

4．如圖所示，質量為M的平板車P高h，質量為m的小物塊Q的大小不計，位于平板車的左端，系統(tǒng)原來靜止在光滑水平地面上．一不可伸長的輕質細繩長為R，一端懸于Q正上方高為R處，另一端系一質量也為m的小球（大小不計）．今將小球拉至懸線與豎直位置成60°由靜止釋放，小球到達最低點時與Q的碰撞時間極短，且無機械能損失．Q與P之間的動摩擦因數為μ，平板車與Q的質量關系是M：m=4：1，重力加速度為g．為使小物塊Q不滑離長木板，長木板至少多長？

Answer 1

分析 小球向下擺到過程機械能守恒，由機械能守恒定律求出小球滑動底端時的速度，小球與物塊碰撞過程系統(tǒng)動量守恒、物塊與小車組成的系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律、機械能守恒定律與能量守恒定律可以求出小車的最小長度．

解答 解：設小球與小物塊Q碰前的速度為v₀，小球下擺過程機械能守恒．由機械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv₀²，
小球與Q進行彈性碰撞后小球的速度為v₁，小物塊Q的速度為v₂，碰撞過程系統(tǒng)動量受，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=mv₁+mv₂，
根據機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²，
小物塊Q在長木板上若恰不滑落，則兩者具有相同的速度v，以向右為正方向，根據動量守恒定律有：
mv₂=（m+M）v，
由能量守恒定律有：μmgl=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²，
解得，小車的長度至少為：l=$\frac{12R}{25μ}$；
答：為使小物塊Q不滑離長木板，長木板至少長$\frac{12R}{25μ}$．

點評 本題考查了求小車的長度，分析清楚運動過程是正確解題的關鍵，應用機械能守恒定律、動量守恒定律與能量守恒定律可以解題，本題難度不大，是一道基礎題．