Question

16．如圖所示，一物體從底邊相等（均為l）的各種長度不等的光滑斜面頂端由靜止滑下，則當(dāng)斜面傾角θ=45°時，物體滑到斜面底部所用時間最短，最短時間t_min=2$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

Answer 1

分析 對于任意斜面，根據(jù)牛頓第二定律求出物體的加速度，根據(jù)位移時間公式求出時間的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識求最短時間．

解答 解：設(shè)任一斜面與水平面的傾角為θ，根據(jù)牛頓第二定律得加速度為：
a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ，
底邊的長度為l，則斜面的長度為：
s=$\frac{l}{cosθ}$
根據(jù)運動學(xué)公式得：
s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}$=$\sqrt{\frac{2•\frac{l}{cosθ}}{gsinθ}}$=$\sqrt{\frac{4l}{gsin2θ}}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)2θ=90°，即θ=45°時，t最短，且最短時間為：t_min=2$\sqrt{\frac{l}{g}}$
故答案為：45°，2$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

點評 本題的關(guān)鍵是運用牛頓第二定律和運動學(xué)公式得到時間的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識求時間的最小值，這是常用的函數(shù)法，要學(xué)會運用．