Question

4．質量為m的衛(wèi)星發(fā)射前靜止在地球赤道表面．假設地球可視為質量均勻分布的球體，半徑為R．
（1）已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G．求此時衛(wèi)星對地表的壓力N的大��；
（2）衛(wèi)星發(fā)射后先在近地軌道上運行（軌道離地面的高度可以忽略不計），運行的速度大小為v₁，之后經過變軌成為地球的同步衛(wèi)星，此時離地面高度為H，運行的速度大小為v₂．
a．求比值$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$；
b．若衛(wèi)星發(fā)射前隨地球一起自轉的速度大小為v₀，通過分析比較v₀、v₁、v₂三者的大小關系．

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星靜止在地球上，隨地球一起做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律求解衛(wèi)星對地表的壓力N的大��；
（2）a、衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力求出線速度之比；
b、同步衛(wèi)星與地球自轉的角速度相等，而半徑大于地球半徑，據(jù)此分析v₀和v₂的關系，結合a的結論分析三者之間的關系．

解答 解：（1）衛(wèi)星靜止在地球上，隨地球一起做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第二定律得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-N′=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：N′=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
根據(jù)牛頓第三定律可知衛(wèi)星對地表的壓力N的大小為：
N=N′=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
（2）a、衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
$G\frac{Mm}{{（R+H）}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{（R+h）}$，
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
b、同步衛(wèi)星與地球自轉的角速度相等，而半徑大于地球半徑，根據(jù)v=ωr可知，v₂＞v₀，而v₁＞v₂，所以v₁＞v₂＞v₀.\
答：（1）此時衛(wèi)星對地表的壓力N的大小為$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$；
（2）a．$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$的值為$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$；
b．v₀、v₁、v₂三者的大小關系為v₁＞v₂＞v₀．

點評 本題考查萬有引力在天體運動中的應用，要注意分清是衛(wèi)星是繞地球運動，還是靜止在地面上，明確在地球上與衛(wèi)星運動向心力是不同的．