Question

5．如圖甲所示，A、B、C、D為固定于豎直平面內(nèi)的閉合絕緣軌道，弧AB段、弧CD段均為半徑R=1.6m的半圓，BC、AD段水平，AD=BC=8m．B、C之間的區(qū)域存在水平向右的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=5×10⁵V/m，其余區(qū)域沒有電場(chǎng)．質(zhì)量為m=4×10^-3kg、帶電量q=+1×10^-8C的小環(huán)套在軌道上．小環(huán)與軌道AD段的動(dòng)摩擦因數(shù)為CaC₂=0.125，與軌道其余部分的摩擦忽略不計(jì)．現(xiàn)使小環(huán)在D點(diǎn)獲得沿軌道向左的初速度v₀=4m/s，且在沿直線軌道DA段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終受到方向豎直向上、大小隨速度變化的力F（變化關(guān)系如圖乙所示）作用，小環(huán)第一次進(jìn)入半圓軌道AB時(shí)在A點(diǎn)對(duì)半圓軌道剛好無(wú)壓力．不計(jì)小環(huán)大小，g取10m/s²．求：

（1）小環(huán)第一次運(yùn)動(dòng)到A時(shí)的速度大��；
（2）小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時(shí)速度大�。�
（3）若小環(huán)經(jīng)過(guò)多次循環(huán)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度至少多大？

Answer 1

分析 （1）小環(huán)每次到達(dá)圓弧上的A點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓軌道剛好均無(wú)壓力，知在A點(diǎn)靠重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出A點(diǎn)的速度．
（2）由動(dòng)能定理可求得第一次到達(dá)D點(diǎn)的速度；
（3）對(duì)小環(huán)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行分析，根據(jù)動(dòng)能定理及能量的轉(zhuǎn)化關(guān)系可求得D點(diǎn)的最小速度．

解答 解：（1）進(jìn)入半圓軌道AB時(shí)小壞僅受重力，在A點(diǎn)由向心力公式得：$mg=m\frac{{v_{A1}^2}}{R}$
得：${v_{A1}}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×1.6}m/s=4m/s$
（2）小物塊從D出發(fā)，第一次回到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}mv_{D1}^2-\frac{1}{2}mv_0^2=qEL$
$v_{D1}^{\;}=\sqrt{v_0^2+\frac{2qEL}{m}}=\sqrt{{4^2}+\frac{{2×1×{{10}^{-8}}×5×{{10}^5}×8}}{{4×{{10}^{-3}}}}}m/s=6m/s$
（3）初始位置D點(diǎn)時(shí)，若所加力F＞mg，則小環(huán)受摩擦力而減速，同時(shí)F減小，
當(dāng)F=mg時(shí)勻速，但速度一定小于4m/s；若F＜mg，則小環(huán)受摩擦力而減速，同時(shí)F越來(lái)越小，摩擦力越來(lái)越大，小環(huán)繼續(xù)減速直至靜止，不會(huì)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度為4m/s，綜上可知小環(huán)第一次從D到A做勻速運(yùn)動(dòng)．
由圖象知：F=kv=mg  
$k=\frac{mg}{v}=\frac{{4×{{10}^{-3}}×10}}{4}Ns/m=0.01Ns/m$
所以F_m=kv_m=2mg=0.08N
則可知環(huán)與桿的摩擦力f≤μ|F_m-mg|=μmg=qE
穩(wěn)定循環(huán)時(shí)，每一個(gè)周期中損耗的能量應(yīng)等于補(bǔ)充的能量
${W_損}={W_{摩最{大_{\;}}}}≤{f_m}S≤μ（{F_m}-mg）S≤0.04N×\frac{1}{8}×8m≤0.04J$
而${W_補(bǔ)}={W_電}=qEs=1×{10^{-8}}×5×{10^5}×8m=0.04J$
所以穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)在AD段運(yùn)動(dòng)時(shí)速度一定要大于等于8m/s
即到達(dá)A點(diǎn)的速度不小于8m/s
穩(wěn)定循環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)小環(huán)從A到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}mv_D^2-\frac{1}{2}mv_A^2=qEL$
$v_D^{\;}=\sqrt{v_A^2+\frac{2qEL}{m}}=\sqrt{{8^2}+\frac{{2×1×{{10}^{-8}}×5×{{10}^5}×8}}{{4×{{10}^{-3}}}}}m/s=2\sqrt{21}m/s$
達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，小環(huán)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)速度應(yīng)不小于$2\sqrt{21}m/s$
答：（1）小環(huán)通過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度為4m/s；
（2）小環(huán)第一次回到D點(diǎn)時(shí)速度大小為6m/s；
（3）若小環(huán)經(jīng)過(guò)多次循環(huán)運(yùn)動(dòng)能達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度至少$2\sqrt{21}m/s$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清小環(huán)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，難度較大．