Question

12．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，一晝夜時(shí)間為T，萬有引力常量為G，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，試求：
（1）地球平均密度；
（2）第一宇宙速度；
（3）同步衛(wèi)星高度；
（4）若某一時(shí)刻以第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星恰好運(yùn)動(dòng)到同步衛(wèi)星的正下方，再出現(xiàn)這種現(xiàn)象至少需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量，從而求出地球的平均密度；
（2）根據(jù)重力提供向心力求出地球的第一宇宙速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，抓住同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，求出同步衛(wèi)星的高度；
（4）分別求出以第一宇宙速度運(yùn)行的角速度以及同步衛(wèi)星的角速度，抓住兩者轉(zhuǎn)過的角度相差2π，得出再次出現(xiàn)這種現(xiàn)象的時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
則地球的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$．
（2）根據(jù)$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$．
（3）根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，同步衛(wèi)星的高度h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
（4）以第一宇宙速度運(yùn)行的角速度大小${ω}_{1}=\frac{v}{R}=\sqrt{\frac{g}{R}}$，同步衛(wèi)星的角速度${ω}_{2}=\frac{2π}{T}$，
根據(jù)ω₁t-ω₂t=2π得，t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{R}}-\frac{2π}{T}}$．
答：（1）地球平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$；
（2）第一宇宙速度為$\sqrt{gR}$；
（3）同步衛(wèi)星高度為$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（4）再次出現(xiàn)這種現(xiàn)象所需的時(shí)間為$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{R}}-\frac{2π}{T}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．