Question

1．在一個半徑為R的星球表面，離地h處無初速釋放一小球，不計阻力，小球落地時速度為v．已知引力常量G，求：
（1）這顆星球表面的重力加速度；
（2）這顆星球的質(zhì)量；
（3）若星球的自轉(zhuǎn)周期為T，求這顆星球同步衛(wèi)星的高度．

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運動規(guī)律求出星球表面的重力加速度，利用重力等于萬有引力求出星球質(zhì)量．根據(jù)萬有引力提供向心力求解星球的同步衛(wèi)星的高度

解答 解：（1）根據(jù)自由落體運動的規(guī)律有：${v}_{\;}^{2}=2gh$
解得：$g=\frac{{v}_{\;}^{2}}{2h}$
（2）根據(jù)星球表面物體重力等于萬有引力有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
$h=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$
將M代入得：$h=\root{3}{\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{8{π}_{\;}^{2}hG}}-R$
答：（1）這顆星球表面的重力加速度$\frac{{v}_{\;}^{2}}{2h}$；
（2）這顆星球的質(zhì)量$\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2Gh}$；
（3）若星球的自轉(zhuǎn)周期為T，求這顆星球同步衛(wèi)星的高度$\root{3}{\frac{{v}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{8{π}_{\;}^{2}hG}}-R$

點評 解決本題的基本思路萬有引力提供向心力，在星球表面任意物體的重力等于該星球?qū)ξ矬w的萬有引力．