Question

1．某行星自轉(zhuǎn)周期為T，赤道半徑為R，科學(xué)家經(jīng)過(guò)嚴(yán)密計(jì)算發(fā)現(xiàn)，若該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，將會(huì)導(dǎo)致該行星赤道上物體恰好對(duì)行星表面沒(méi)有壓力，已知萬(wàn)有引力常量為G，則以下說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 該行星質(zhì)量為$\frac{{{36π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
• B． 該行星的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{9}$R
• C． 該行星的第一宇宙速度為v=$\frac{2πR}{T}$
• D． 該行星赤道上質(zhì)量為m的物體對(duì)地面的壓力F_N=$\frac{{36π}^{2}mR}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 由“該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉?lái)三倍時(shí)，將導(dǎo)致該星球赤道上物體將恰好對(duì)行星表面沒(méi)有壓力”可知此時(shí)赤道上的物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，據(jù)此可得該行星的質(zhì)量．同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬(wàn)有引力提供向心力的周期表達(dá)式可得同步衛(wèi)星的軌道半徑．行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，進(jìn)而可知壓力大�。�由圓周運(yùn)動(dòng)的公式求行星的第一宇宙速度．

解答 解：A、該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉?lái)三倍，則周期將變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{3}$，即為$\frac{1}{3}$T，由題意可知此時(shí)該星球赤道上物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，則有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{T}{3}）^{2}}$，解得該行星質(zhì)量為：M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正確；
B、該星球的同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬(wàn)有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，結(jié)合 M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，得：該星球的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{9}$R，故B正確；
C、該行星的第一宇宙速度為 v=$\frac{2πR}{T′}$，T′是近地衛(wèi)星的周期，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律知，T′＜T（同步衛(wèi)星的周期），故得v＞$\frac{2πR}{T}$，故C錯(cuò)誤
D、行星地面物體的受的引力和支持力的合力提供向心力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F_N′=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛頓第三定律可知質(zhì)量為m的物體對(duì)行星赤道地面的壓力為F_N=F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 通過(guò)本題的練習(xí)要明確行星自轉(zhuǎn)的時(shí)候，地面物體萬(wàn)有引力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對(duì)行星表面沒(méi)有壓力”時(shí)才由引力完全充當(dāng)向心力．