Question

8．在某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)“探究功與速度變化的關(guān)系”．實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC（半徑為r）組成，將一質(zhì)量為m的小球從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止滑下，用力傳感器測(cè)出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力F，改變H的大小，可測(cè)出相應(yīng)的F大�。�
（1）小球從靜止運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)功的定義求外力做功W=mg（H-2r），借助傳感器測(cè)得的彈力F求小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v=$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$ （用相關(guān)字母表示：已知m、H、r、F，設(shè)重力加速度為g）
（2）根據(jù)以上關(guān)系式，若實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩變量H與F呈線性關(guān)系，可猜測(cè)W與v² 呈線性關(guān)系（選填v、v²、$\sqrt{v}$、…．）．
（3）某同學(xué)意外得到該宇航員所作的F～H圖象（如圖乙），以及其他相關(guān)數(shù)據(jù)：該星球半徑R=5000km，小球質(zhì)量m=0.2kg，圓軌道BC半徑r=0.2m；根據(jù)所學(xué)知識(shí)，求出該星球表面的重力加速度g=5 m/s²；
該星球的第一宇宙速度為5000 m/s．

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)重力做功公式求出外力做的功，在C點(diǎn)，根據(jù)合外力提供向心力公式求出速度；
（2）根據(jù)mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²得出H-F關(guān)系式，從而得出兩變量H與F呈線性關(guān)系，可猜測(cè)W與v²呈線性關(guān)系；
（3）結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度，第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度相等，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$求出該星球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球從靜止運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)功的定義求外力做功W=mg（H-2r），
在C點(diǎn)，根據(jù)合外力提供向心力得：
F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$，
（2）根據(jù)mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²
聯(lián)立解得H=$\frac{r}{2mg}F+\frac{5r}{2}$，此時(shí)H與F成線性關(guān)系，則猜測(cè)W與v²呈線性關(guān)系，
（3）由題圖可知：H₁=0.5m時(shí)F₁=0；H₂=1.0m時(shí)F₂=5N；
可解得g=5m/s²，r=0.2m
第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度相等，
根據(jù)m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$=mg
可得v₁=$\sqrt{gR}$=5×10³m/s．
故答案為：（1）mg（H-2r）；$\sqrt{\frac{（F+mg）r}{m}}$；（ 2 ）v²；（3）5；5000．

點(diǎn)評(píng) 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出H與F的關(guān)系式，難度適中．