Question

8．如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細(xì)圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．一個(gè)質(zhì)量為1kg的小球放在曲面AB上，現(xiàn)從距BC的高度為h=0.6m處靜止釋放小球，它與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它對上管壁有F_N=2.5mg的相互作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中滑塊速度最大時(shí)彈簧的彈性勢能為E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球在C處受到的向心力大��；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km； 
（3）小球最終停止的位置．

Answer 1

分析 （1）對小球進(jìn)行受力分析即可求出向心力；
（2）在壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，合力為零，然后結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出小球的最大動(dòng)能；
（3）由功能關(guān)系和C點(diǎn)的向心力的表達(dá)式，即可求出．

解答 解：（1）小球進(jìn)入管口C端時(shí)它與圓管上管壁有大小為F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力為：F_向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10=35N   
（2）在壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，合力為零．
設(shè)此時(shí)滑塊離D端的距離為x₀，則有 kx₀=mg
解得x₀=$\frac{mg}{k}$=0.1m 
由機(jī)械能守恒定律有   mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}$mv_C²=E_km+E_p   
得E_km=mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}$mv_C²-E_p=3+3.5-0.5=6（J） 
（3）在C點(diǎn)，由F_向=$\frac{m{v}_{c}^{2}}{r}$
代入數(shù)據(jù)得：v_c=$\sqrt{7}$m/s      
滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得 mg•h-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_C² 
解得BC間距離s=0.5m  
小球與彈簧作用后返回C處動(dòng)能不變，小滑塊的動(dòng)能最終消耗在與BC水平面相互作用的過程中．
設(shè)物塊在BC上的運(yùn)動(dòng)路程為sˊ，由動(dòng)能定理有 0-$\frac{1}{2}$mv_C²=-μmgsˊ
解得sˊ=0.7m  
故最終小滑塊距離B為0.7-0.5m=0.2m處停下
答：（1）小球在C處受到的向心力大小是35N；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km是6J； 
（3）小球最終停止的位置是距離B為0.2m處停下．（或距離C端0.3m）．

點(diǎn)評 本題綜合運(yùn)用了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系以及牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，是高考的熱點(diǎn)題型，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．